tính định thức cấp n biết: aij= Max(i,j)

1 bình luận về “tính định thức cấp n biết: aij= Max(i,j)”

1. Gọi $A$ là ma trận vuông cấp $n$ thoả mãn $a_{ij}= \max(i,j)$

   Ta có:

   $A = \left(\matrix{1&2&3&\cdots&n\\2&2&3&\cdots&n\\3&3&3&\cdots&n\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\n&n&n&\cdots&n}\right)$

   Bằng phép biến đổi sơ cấp theo dòng, ta được ma trận mới:

   $A_1 = \left(\matrix{1&2&3&\cdots&n\\1&0&0&\cdots&0\\1&1&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&0}\right)$

   Áp dụng công thức khai triển $\mathscr{L}\cal{aplace}$ theo cột $n$ ta được:

   $\det(A)=\det(A_1)= n.A_{1n}$

   $= n.(-1)^{n+1}\left|\matrix{1&0&0&\cdots&0\\1&1&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&1}\right|$

   $= (-1)^{n+1}n$

   Trả lời