Với `n` là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện `A_n^2 – C_n^3 =10`, tìm hệ số `a_5` của số hạng chứa `x^5` trong khai triển `(

2 bình luận về “Với `n` là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện `A_n^2 – C_n^3 =10`, tìm hệ số `a_5` của số hạng chứa `x^5` trong khai triển `(”

1. $A^2_n – C^3_n=10\\\Leftrightarrow \dfrac{n!}{(n-2)!}-\dfrac{n!}{3!(n-3)!}=10\\\Leftrightarrow n(n-1)-\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}=10\\\Leftrightarrow 6n^2-6n-(n^2-n)(n-2)=60\\\Leftrightarrow 6n^2-6n-(n^3-n^2-3n^2+2n)=60\\\Leftrightarrow n^3 -9n^2+8n+60=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n=-2(L)\\n=5(Tm)\\n=6(Tm)\end{array} \right.$

   $\bullet$ $n=5$

   $\Rightarrow \left(x^2-\dfrac{2}{x^3}\right)^5=\sum\limits_{k=0}^{5} C^k_5 . x^{2(5-k)}.\left(\dfrac{-2}{x^3}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^{5}C^k_5 . (-2)^k . x^{10-5k}$

   Để $a_5$ của số hạng chứa $x^5$ thì $10-5k=5\Leftrightarrow k=1$

   Do đó: $a_5=C^1_5 . (-2)^1 =-10$

   $\bullet$ $n=6$

   $\Rightarrow \left(x^2-\dfrac{2}{x^3}\right)^6=\sum\limits_{k=0}^{6} C^k_6 . x^{2(6-k)}.\left(\dfrac{-2}{x^3}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^{6}C^k_6 . (-2)^k . x^{12-5k}$

   Để $a_5$ của số hạng chứa $x^5$ thì $12-5k=5\Leftrightarrow k=\dfrac{7}{5}$(Loại)

   Vậy $a_5=-10$

   Trả lời
2. Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:

   Ta có :

   A_n^2-C_n^3=10<=>{n!}/{(n-2)!}-{n!}/{3!(n-3)!}=10,(n>=3)

   <=>n(n-1)-1/6n(n-1)(n-2)=10

   <=>-1/6n^3+3/2n^2-4/3n-10=0

   <=>\(\left[ \begin{array}{l}n=-2\\n=6\\n=5\end{array} \right.\)

   So điều kiện nhận n=6 hay n=5

   Với n=6 , ta có (x^2-2/x^3)^6=$\sum\limits_{k=0}^{6}$C_6^kx^(2(6-k)({-2}/x^3)^k=$\sum\limits_{k=0}^{6}$C_6^k (-2)^kx^{12-5k}

   Để có x^5 thì k=7/5 (loại)

   Với n=5, ta có(x^2-2/x^3)^5=$\sum\limits_{k=0}^{5}$C_5^kx^(2(5-k)({-2}/x^3)^k=$\sum\limits_{k=0}^{5}$C_5^k (-2)^kx^{10-5k}

   Để có x^5 thì k=1

   => a_5=C_5^1(-2)=-10

   Trả lời