Cho `a,b,c >0`. CMR: `b)` `(ab)/c +(bc)/a +(ca)/b >= a+b+c`

1 bình luận về “Cho `a,b,c >0`. CMR: `b)` `(ab)/c +(bc)/a +(ca)/b >= a+b+c`”

1. b)

   (ab)/c + (bc)/a + (ca)/b ≥ a+b+c (1)

   <=> a^2 b^2 + b^2c^2 + a^2b^2 ≥ abc(a+b+c)

   <=> (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 ≥ a^2bc + ab^2c + abc^2

   <=> (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 – a^2bc – ab^2c – abc^2 ≥ 0

   <=> 2(ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ca)^2 – 2a^2bc – 2ab^2c -2abc^2 ≥0

   <=> (ab)^2 – 2a^2bc + (ca)^2 + (ab)^2 – 2ab^2c + (bc)^2 + (bc)^2 – 2abc^2 + (ca)^2 ≥0

   <=> (ab – ca)^2 + (ab + bc)^2 + (bc – ca)^2 ≥0 ∀ a,b,c (2)

   Vì bất phương trình (2) luôn đúng nên bất phương trình (1) luôn đúng

   => đpcm

   $\color{lightblue}{eriet}$

   Trả lời