Chứng minh nếu 5n^2+1/6 nhận giá trị nguyên thì n/2 và n/3 là các phân số tối giản

2 bình luận về “Chứng minh nếu 5n^2+1/6 nhận giá trị nguyên thì n/2 và n/3 là các phân số tối giản”

1. 5n^2+1/6 nhận giá trị nguyên
   <=> 5n^2+1/6 chia hết cho 6
   <=> 5n^2 – 5 chia hết cho 6
   <=> (n-1)(n+1) chia hết cho 6 (*)
   Giả sử n chẵn => (n-1)(n+1) không chia hết cho 2 (trái với *)
   => n nguyên tố với 2 => n/2 tối giản
   Giả sử n chia hết cho 3 => (n-1)(n+1) không chia hết cho 3 (trái với *)
   => n nguyên tố với 3 => n/3 tối giản

   Trả lời
2. $\text{→ Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:}$

   $\text{→ Ta có :}$

   $\text{$\dfrac{5n² + 1}{6}$ $\in$ Z}$

   $\text{⇒ 5n² + 1 $\vdots$ 6}$

   $\text{⇒ 5n² – 5 + 6 $vdots$ 6}$

   $\text{⇒ 5 . ( n² – 1 ) $\vdots$ 6}$

   $\text{⇒ 5 . ( n² + n – n – 1 ) $\vdots$ 6}$

   $\text{⇒ 5 . [ n . ( n + 1 ) – ( n + 1 ) ] $\vdots$ 6.}$

   $\text{⇒ 5 . ( n + 1 ) . ( n – 1 ) $\vdots$ 6}$

   $\text{→ Ta dễ dàng thấy : 5 $\not\vdots$ 6.}$

   $\text{⇒ ( n + 1 )( n – 1 ) $\vdots$ 6. ( 1 )}$

   $\text{→ Ta giả sử rằng : n $\vdots$ 2 ( 2 )}$

   $\text{⇒ ( n + 1 ; n – 1 ) $\not\vdots$ 2}$

   $\text{hay ( n + 1 )( n – 1 ) $\not\vdots$ 6 = 3 . 2  [ ( 3 , 2 ) = 1 ].}$

   $\text{→ Từ ( 1 ) ta suy ra ( 2 ) là sai ⇒ n $\not\vdots$ 2. ( 3 ) ⇒ $\dfrac{n}{2}$ tối giản.  ( ĐPCM ).}$

   $\text{→ Ta lại giả sử rằng : n $\vdots$ 3. ( 5 ).}$

   $\text{⇒ ( n + 1 ; n – 1 ) $\vdots$ 2. ( 4 )}$

   $\text{→ Từ ( 3 ) và ( 4 ) ta suy ra ( 5 ) là sai ⇒ $\dfrac{n}{3}$ tối giản.  ( ĐPCM ).}$

   Trả lời