Gọi ƯCLN(2n+5, 3n+7) = 1. Để $\frac{2n+5}{3n+7}$ là phân số tối giản với mọi N* thì ta cần d = 1.
Vì d là ƯCLN(2n+5, 3n+7) nên: 2n+5 chia hết cho d và 3n+7 chia hết cho d => 3(2n+5) chia hết cho d và 2(3n+7) chia hết cho d => 6n+15 chia hết cho d và 6n+14 chia hết cho d => [(6n+15) – (6n+14)] chia hết cho d (vì nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a±b) chia hết cho m) => (6n+15-6n-14) chia hết cho d => (6n-6n+15-14) chia hết cho d => 1 chia hết cho d => d ∈ {1,-1} Nhưng vì d ∈ N* (theo đề) nên d=1 => ƯCLN(2n+5, 3n+7)=1
Vậy $\frac{2n+5}{3n+7}$ là phân số tối giản (đpcm)
Để $\frac{2n+5}{3n+7}$ là phân số tối giản với mọi N* thì ta cần d = 1.
Vì d là ƯCLN(2n+5, 3n+7) nên:
2n+5 chia hết cho d và 3n+7 chia hết cho d
=> 3(2n+5) chia hết cho d và 2(3n+7) chia hết cho d
=> 6n+15 chia hết cho d và 6n+14 chia hết cho d
=> [(6n+15) – (6n+14)] chia hết cho d (vì nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a±b) chia hết cho m)
=> (6n+15-6n-14) chia hết cho d
=> (6n-6n+15-14) chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d ∈ {1,-1}
Nhưng vì d ∈ N* (theo đề) nên d=1
=> ƯCLN(2n+5, 3n+7)=1
Vậy $\frac{2n+5}{3n+7}$ là phân số tối giản (đpcm)