Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì A = n.(2n+1).(7n+1) chia hết cho 6
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì A = n.(2n+1).(7n+1) chia hết cho 6
1 bình luận về “Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì A = n.(2n+1).(7n+1) chia hết cho 6”
Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:
Ta có: A = n.(2n+1).(7n+1) = n.(2n+1).(6n+n+1) =n.(2n+1).6n+ n.(2n+1).(n+1) =n.(2n+1).6n+ n.(n+2+n-1).(n+1) =6n^2(2n+1)+n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1) Ta thấy: 6n^2(2n+1) chia hết cho 6 (1) n(n+1)(n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp =>n(n+1)(n+2) chia hết cho cả 2 và 3 =>n(n+1)(n+2) chia hết cho 6 (2) Xét: (n-1)n(n+1) Với n=0=>(n-1)n(n+1)=0 chia hết cho 6 Với n>=1=>(n-1)n(n+1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp => (n-1)n(n+1) chia hết cho cả 2 và 3 =>(n-1)n(n+1) chia hết cho 6 (3) Từ (1);(2) và (3) suy ra được 6n^2(2n+1)+n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1) chia hết cho 6 =>n.(2n+1).(7n+1) chia hết cho 6 (điều phải chứng minh)
A = n.(2n+1).(7n+1)
= n.(2n+1).(6n+n+1)
=n.(2n+1).6n+ n.(2n+1).(n+1)
=n.(2n+1).6n+ n.(n+2+n-1).(n+1)
=6n^2(2n+1)+n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)
Ta thấy:
6n^2(2n+1) chia hết cho 6 (1)
n(n+1)(n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp
=>n(n+1)(n+2) chia hết cho cả 2 và 3
=>n(n+1)(n+2) chia hết cho 6 (2)
Xét: (n-1)n(n+1)
Với n=0=>(n-1)n(n+1)=0 chia hết cho 6
Với n>=1=>(n-1)n(n+1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp
=> (n-1)n(n+1) chia hết cho cả 2 và 3
=>(n-1)n(n+1) chia hết cho 6 (3)
Từ (1);(2) và (3) suy ra được
6n^2(2n+1)+n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1) chia hết cho 6
=>n.(2n+1).(7n+1) chia hết cho 6 (điều phải chứng minh)