Cho tam giác ABC,các trung tuyến AN,BM cắt nhau tại G.Trên tia GN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của GK 1)CM:G là trung đ

1 bình luận về “Cho tam giác ABC,các trung tuyến AN,BM cắt nhau tại G.Trên tia GN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của GK 1)CM:G là trung đ”

1. Lời giải và giải thích chi tiết:

   1.Ta có: $AN,BM$ là trung tuyến $\mathrm{\Delta }ABC,AN\cap BM=G\to G$ là trọng tâm $\mathrm{\Delta }ABC$

                   $N$ là trung điểm $GK$

   $\to GK=2GN=GA$

   $\to G$ là trung điểm $AK$

   2.Xét $\mathrm{\Delta }NBG,\mathrm{\Delta }NKC$ có:
   $NG=NK$

   $\widehat{GNB}=\widehat{KNC}$

   $NB=NC$

   $\to \mathrm{\Delta }NBG=\mathrm{\Delta }NCK(c.g.c)$

   $\to BG=CK$

   Vì $G$ là trọng tâm $\mathrm{\Delta }ABC\to BG={\displaystyle \frac{2}{3}}BM\to CK={\displaystyle \frac{2}{3}}BM$

   3.Vì $I$ là trọng tâm $\mathrm{\Delta }BGK$

   $\to BI={\displaystyle \frac{2}{3}}BN={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 2BN={\displaystyle \frac{1}{3}}BC$

   Gọi $KI\cap BG=D\to D$ là trung điểm $GB$

   Xét $\mathrm{\Delta }GAM,\mathrm{\Delta }GKD$ có:

   $GA=GK$

   $\widehat{AGM}=\widehat{KGD}$

   $GM={\displaystyle \frac{1}{2}}GB=GD$

   $\to \mathrm{\Delta }GAM=\mathrm{\Delta }GKD(c.g.c)$

   $\to KD=AM$

   $\to IK={\displaystyle \frac{2}{3}}KD={\displaystyle \frac{2}{3}}AM={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 2AM={\displaystyle \frac{1}{3}}AC$

   Gọi $GI\cap BK=E\to E$ là trung điểm $BK$

   Trên tia đối của tia $GE$ lấy điểm $F$ sao cho $GE=GF$

   Xét $\mathrm{\Delta }GAF,\mathrm{\Delta }GKE$ có:

   $GA=GK$

   $\widehat{AGF}=\widehat{KGE}$

   $GF=GE$

   $\to \mathrm{\Delta }GAF=\mathrm{\Delta }GKE(c.g.c)$

   $\to AF=KE,\widehat{GAF}=\widehat{GKE}$

   $\to AF//EK\to AF//BE$

   Mà $EB=EK\to EB=AF$

   Xét $\mathrm{\Delta }ABE,\mathrm{\Delta }AFE$ có:

   Chung $AE$

   $\widehat{AEB}=\widehat{EAF}$

   $BE=AF$

   $\to \mathrm{\Delta }ABE=\mathrm{\Delta }EFA(c.g.c)$

   $\to AB=EF=2GE=2\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}GI=3GI$

   $\to GI={\displaystyle \frac{1}{3}}AB$

   $\to IG+IB+IK={\displaystyle \frac{1}{3}}AB+{\displaystyle \frac{1}{3}}BC+{\displaystyle \frac{1}{3}}AC={\displaystyle \frac{1}{3}}(AB+BC+CA)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 24=8$

   

   Trả lời