Cho tam giác ABC,các trung tuyến AN,BM cắt nhau tại G.Trên tia GN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của GK 1)CM:G là trung đ

1 bình luận về “Cho tam giác ABC,các trung tuyến AN,BM cắt nhau tại G.Trên tia GN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của GK 1)CM:G là trung đ”

1. Lời giải và giải thích chi tiết:

   1.Ta có: $AN, BM$ là trung tuyến $\Delta ABC, AN\cap BM=G\to G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

                   $N$ là trung điểm $GK$

   $\to GK=2GN=GA$

   $\to G$ là trung điểm $AK$

   2.Xét $\Delta NBG,\Delta NKC$ có:
   $NG=NK$

   $\widehat{GNB}=\widehat{KNC}$

   $NB=NC$

   $\to \Delta NBG=\Delta NCK(c.g.c)$

   $\to BG=CK$

   Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC\to BG=\dfrac23BM\to CK=\dfrac23BM$

   3.Vì $I$ là trọng tâm $\Delta BGK$

   $\to BI=\dfrac23BN=\dfrac13\cdot 2BN=\dfrac13BC$

   Gọi $KI\cap BG=D\to D$ là trung điểm $GB$

   Xét $\Delta GAM,\Delta GKD$ có:

   $GA=GK$

   $\widehat{AGM}=\widehat{KGD}$

   $GM=\dfrac12GB=GD$

   $\to \Delta GAM=\Delta GKD(c.g.c)$

   $\to KD=AM$

   $\to IK=\dfrac23KD=\dfrac23AM=\dfrac13\cdot 2AM=\dfrac13AC$

   Gọi $GI\cap BK=E\to E$ là trung điểm $BK$

   Trên tia đối của tia $GE$ lấy điểm $F$ sao cho $GE=GF$

   Xét $\Delta GAF,\Delta GKE$ có:

   $GA=GK$

   $\widehat{AGF}=\widehat{KGE}$

   $GF=GE$

   $\to \Delta GAF=\Delta GKE(c.g.c)$

   $\to AF=KE,\widehat{GAF}=\widehat{GKE}$

   $\to AF//EK\to AF//BE$

   Mà $EB=EK\to EB=AF$

   Xét $\Delta ABE,\Delta AFE$ có:

   Chung $AE$

   $\widehat{AEB}=\widehat{EAF}$

   $BE=AF$

   $\to \Delta ABE=\Delta EFA(c.g.c)$

   $\to AB=EF=2GE=2\cdot \dfrac32GI=3GI$

   $\to GI=\dfrac13AB$

   $\to IG+IB+IK=\dfrac13AB+\dfrac13BC+\dfrac13AC=\dfrac13(AB+BC+CA)=\dfrac13\cdot 24=8$

   

   Trả lời