Cho tam giác ABC cân ở A kẻ tia phân giác BD của góc B và tia phân giác DM của góc BDC đường phân giác của góc ADB cắt đường

1 bình luận về “Cho tam giác ABC cân ở A kẻ tia phân giác BD của góc B và tia phân giác DM của góc BDC đường phân giác của góc ADB cắt đường”

1. Giải đáp:

   Để chứng minh BD = 1/2MN, ta sẽ sử dụng định lí phân giác trong tam giác và nhận xét về các tam giác đồng dạng.

   Ta có:

   – Phân giác BD của góc B chia góc ADB thành hai góc bằng nhau, do đó ABD cũng là tam giác cân tại A.
   – Phân giác DM của góc BDC chia góc MDB thành hai góc bằng nhau, do đó MDB cũng là tam giác cân tại M.
   – Gọi I là giao điểm của AD và BM. Do DMI là tam giác cân tại M nên I nằm trên đường phân giác của góc DMB.
   – Từ đó suy ra MIN và MID là hai tam giác đồng dạng (do có hai góc bằng nhau), ta có:
      $\dfrac{MN}{MD}$ = $\dfrac{MD}{MI}$
     Hay: $MN.MI$ = $MD^2$

   – Tương tự, ta có BAM và BDI là hai tam giác đồng dạng (do có hai góc bằng nhau), ta có:
      $\dfrac{BD}{BA}$ = $\dfrac{DI}{AM}$
     Hay: $BD.AM$ = $BA.DI$

   – Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $BD$ ta được: 
     $BD.MN.MI$ = $BD.MD^2$
     Hay: $MN.MI$ = $MD^2/BD$

   – Nhân hai vế của phương trình thứ hai với $MI$ ta được:
     $BD.AM.MI$ = $BA.DI.MI$
     Hay : $BD.MN.MI$ = $BA.DI.MI$
    
    + Vậy ta suy ra được : $MN$/$BD$ = $DI$/$BA$
    
    Vì tam giác ABC cân nên ta có $BD$=$BA$ 
    
    Đặt $BD$=$BA$=$x$ , $MD$=$y$
    
    Ta có $MN.MI$ = $MD^2/$BD
    
                 = $y^2/x$
                 
   Và $MN$/$BD$ = $DI$/$BA$
    
                    = $(DM+MI)/(AB+BI)$
                    
                    =$[(DM+y)/(AB+x)]$.$[(AB+x)-(DM+y)]/(AB+x)+(DM+y)]$
                    
                    =$[(DM+y)/(AB+x)]$.$[AB-DM]/(2AB+x+y)$
                    
                    =$y/(2x+y)$ (vì AB=BD=x)
                    
   Vậy ta được $MN.x/2$ =$y/2$, hay $BD = 1/2MN$.

   Vậy BD bằng một nửa đường trung bình tương ứng với cạnh AC trong tam giác AMC.

    

   Trả lời