Cho tam giác ABC nhọn, kẻ AD vuông góc với BC tại D. Xác định I, J sao cho AB là trung trực của DI, AC là trung trực của DI, AC là trung trực của DJ, IJ cắt AB, AC lần lượt tại L và K.
Chứng minh rằng:
a, tam giác AIJ cân
b, DA là tia phân giác góc LDK
c, CL vuông góc AB, BK vuông góc AC
AI = AD và AD = AJ tương đương AI = AD = AJ
=>AJI cân tại A (đpcm).
b) Xét ALI và ALD có: AL: cạnh chung; LI = LD (Do L thuộc đường trung
trực của đoạn thẳng LD); AI = AD (Từ câu a)
=>ALI = ALD (c.c.c)
=> góc AIL = góc ADL (2 góc tương ứng) (1)
– Tương tự, ta có: AKD = AKJ (c.c.c)
=>góc ADK = góc AJD (2 góc tương ứng) (2)
– Từ câu a, ta có: AIJ cân tại A góc AIJ = góc AJI (3)
– Từ (1), (2) và (3) DA là tia phân giác của góc LDK (đpcm)
c) Từ câu b, ta có: ALI = ALD và AKD = AKJ
=>Các cặp góc tương ứng bằng nhau là: LAI = LAD và DAK = JAK
– Từ đó, ta có: LAI + JAK = LAD + DAK = BAC
– Ta có: IAJ = LAI + JAK + BAC = BAC
– Vì BAC cố định nên IAJ cố định (đpcm).
– Vì IAJ cân tại A và IAJ cố định nên IJ nhỏ nhất khi IA nhỏ nhất. Mà từ câu
a, ta có: IA = AD.
=>IJ nhỏ nhất khi AD nhỏ nhất.
– Vẽ AH BC⊥ . Ta có: AD ≥ AH
– Dấu = xảy ra khi AD BC⊥ và khi đó IJ nhỏ nhất (đpcm)