chứng minh với mọi nN thì 11.$5^{2n}$ + $2^{3n+2}$ + $2^{3n+1}$ chia hết cho 17

2 bình luận về “chứng minh với mọi nN thì 11.$5^{2n}$ + $2^{3n+2}$ + $2^{3n+1}$ chia hết cho 17”

1. Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:

   11.5^(2n)+2^(3n+2)+2^(3n+1)

   =11.5^(2n)+2^(3n) . 4+2^(3n).2

   =17.5^(2n)-6.5^(2n)+2^(3n) . (4+2)

   =17 . 5^(2n)-6.5^(2n)+ 2^(3n) .6

   =17 . 5^(2n) -6(5^(2n)-2^(3n))

   =17. 5^(2n) -6(25^n -8^n )

   Do {:(17 . 5^(2n)\vdots 17),(6(25^n -8^n) =6A(25-8)=6A . 17\vdots 17):}}=>17 . 5(2n)-6(25^n -8^n)\vdots 17

   Hay 11.5^(2n)+2^(3n+2)+2^(3n+1)\vdots 17(đpcm)

   Trả lời
2. Giải đáp:

    

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   +  Với n = 0, ta có:

   11*5^(2n) + 2^(3n+2) + 2^(3n+1) = 11*1 + 2^2 + 2 = 11 + 4 + 2 = 17 vdots 17

   + Giả sử với n = k thoả mãn tức 11*5^(2k) + 2^(3k+2) + 2^(3k+1) vdots 17, ta cần chứng minh biểu thức đúng với n=k+1.

   => 11*5^(2n) + 2^(3n+2) + 2^(3n+1) = 11*5^(2k+2)+ 2^(3k+3+2) + 2^(3k+3+1)

   = 11*5^(2k)*25 + 2^(3k+2)*2^3 + 2^(3k+1)*2^3

   = 11*5^(2k)*17 + 11*5^(2k)*8 + 2^(3k+2)*8 + 2^(3k+1)*8

   = 11*25^k*17 + 8(11*5^(2k) + 2^(3k+2) + 2^(3k+1))

   Mà 11*25^k*17 vdots 17; 11*5^(2k) + 2^(3k+2) + 2^(3k+1) vdots 17 (giả thiết quy nạp) => 8(11*5^(2k) + 2^(3k+2) + 2^(3k+1)) vdots 17

   => 11*25^k*17 + 8(11*5^(2k) + 2^(3k+2) + 2^(3k+1)) vdots 17(đpcm)

   Trả lời