Giải phương trình nghiệm nguyên : `4(a-x)(x-b)+b-a=y^2` `(1)` trong đó `a, b` là các số nguyên cho trước và `a>b`.

1 bình luận về “Giải phương trình nghiệm nguyên : `4(a-x)(x-b)+b-a=y^2` `(1)` trong đó `a, b` là các số nguyên cho trước và `a>b`.”

1. @ \text{Ché}

   Giả sử phương trình (1) có nghiệm x, y nguyên. Xét nghiệm y nguyên dương. Vì a>b nên từ (1) có x≠a, x≠b và 4(a-x)(x-b) > 0, suy ra b<x<a. Đặt a-x=m, x-b=n thì m, n dương. Lúc đó (1) trở thành 4mn-n-n=y^2 (2) với m, n, y nguyên dương. Biến đổi (2)

   ⇔ (4m-1)(4n-1)=4y^2+1 (3).

   Vì tích các số dạng 4k+1 lại có dạng đó nên số 4m-1 phải có ước nguyên tố dạng p=4k+3. Từ (3) có (4y^2+1) p hay 4y^2≡-1 ( mod p ) (4). Suy ra (y, p)=1. Theo định lí nhỏ Fermat thì : 

   (2y)^{p-1}≡1(mod p) ⇒ [(2y)^2]^\frac{p-1}{2}≡1( mod p).

   Từ đó và (4) có (-1)^\frac{p-1}{2}≡1( mod p) ⇒(-1)^{2k+1}≡1( mod p) ⇒ mâu thuẫn.

   Vậy phương trình (3) không có nghiệm nguyên.

   color{red}{\text{Chúc Bạn Học Tốt}}

   Trả lời