Cho tam giác ABC cân tại A , BE vuông góc AC ,CD vuông góc AB a, Chứng minh : BE= CD và tam giác ADE cân b,

1 bình luận về “Cho tam giác ABC cân tại A , BE vuông góc AC ,CD vuông góc AB a, Chứng minh : BE= CD và tam giác ADE cân b,”

1. a) Ta có BE vuông góc AC, CD vuông góc AB và tam giác ABC cân tại A, do đó ta có BA = BC. Khi đó, ta có:
   CA^2 = BA^2 – BC^2 = BA^2 – AB^2 = AB^2 – BC^2 = AB^2 – AC^2 = AC^2
   Do đó, ta có BE = CE và CD = BD, từ đó suy ra BE = CD.
   Gọi I là trung điểm của DE, ta có AI song song với BC (do A, I, D, E là hình chữ nhật). Do đó, ta có tam giác ADE cân.
   b) Ta có BE = CD và góc ABE = góc ACD (cùng là góc vuông), do đó tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACD. Khi đó, ta có:
   AB/AC = BE/CD
   Giả sử AH không phải là tia phân giác của góc BAC, khi đó đường thẳng AH cắt BC tại K, ta có:
   AB/AK = BH/BK và AC/CK = CH/BK
   Do đó:
   AB/AK = AC/CK
   Khi đó, ta có:
   BE/CD = AB/AC = AK/CK = BK/CK
   Từ đó suy ra BK = CK, mâu thuẫn với giả sử trên. Do đó, Ah là tia phân giác của góc BAC.
   c) Ta có tam giác ADE cân và AI song song với BC, do đó ta có DE // BC.
   d) Ta có AH song song với IM (do Ah là tia phân giác của góc BAC và IM là tia phân giác của góc BMC). Khi đó, ta có:
   MA/MB = CA/CB = EA/EB và HA/HB = CA/CB = DA/DB = EA/EB
   Từ đó suy ra MA/MB = HA/HB, do đó AM và AH cùng nằm trên đường trung trực của BC, tức là 3 điểm AHM thẳng hàng.
   Gọi G là trung điểm của BE và CD, ta có BG song song với AC và CG song song với AB. Khi đó, ta có:
   BM/MC = BG/GC và MA/AC = GD/DC
   Do đó:
   MA/MB * BG/GC * DC/GD = MA/AC = EA/EB
   Từ đó suy ra AM là tia phân giác của góc BED.

   Trả lời