Tìm tất cả các đa thức `\text{P}(x)` thỏa mãn điều kiện: `(x – 1992) \text{P}(x) = x\text{P}(x – 1)` và `\text{P}(1993) = 199

Tìm tất cả các đa thức `\text{P}(x)` thỏa mãn điều kiện:
`(x – 1992) \text{P}(x) = x\text{P}(x – 1)` và `\text{P}(1993) = 1993!“\color{green}{\bb \text{.}}`

2 bình luận về “Tìm tất cả các đa thức `\text{P}(x)` thỏa mãn điều kiện: `(x – 1992) \text{P}(x) = x\text{P}(x – 1)` và `\text{P}(1993) = 199”

  1. Giải đáp:
     
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    Cho x=0 thì ta suy ra P(0)=0.
    Cho x=1 vào ta suy ra (1-k)P(1)=0. Nếu k=1 thì ta thấy đồng nhất thức trở thành xP(x-1)=(x-1)P(x) (1). Vì P(0)=0 nên P(x)=x.Q(x). Thay trở lại (1) ta suy ra Q(x)=Q(x-1).Do đó Q(1)=Q(2)=…=a Phương trình Q(x)-a=0 có vô số nghiệm nên Q(x)=a. Do đó P(x)=ax (a là hằng số thực). Nếu k lớn hơn 1 thì ta sẽ có P(1)=0. Thay x=2 vào ta có (2-k)P(2)=0. Nếu k=2 thì lặp luận tương tự ta có P(x)=ax(x-1). Nếu k khác 2 lại có P(2)=0. Tiếp tục các bước lặp luận ta tính được cá giá trị P(3);P(4);… ta đi đến đa thức cần tìm P(x)=ax(x-1)(x-2)…(x-k) (Trong đó a là hằng số).

    Trả lời
  2. Theo đề bài ta có:
    (x-1992)P_((x)) =xP(x-1)
    <=>P_((x)).x-P_((x)). 1992=Px^2-Px.
    <=>x-1992=x
    <=>-1992=x-x
    <=>-1992=0
    => P_((x)) không có giá trị để thoả mãn: (x-1992)P_((x)) =xP(x-1)
    <=> PT vô nghiệm
     

    Trả lời

Viết một bình luận

Câu hỏi mới