`1)` Cho `a , b > 0 , a + b <= 1.` Chứng minh rằng: `a^2 + b^2 + 1/a^2 + 1/b^2 >= 17/2` `2)` Cho các số thực `x >= 1 ; y >

1 bình luận về “`1)` Cho `a , b > 0 , a + b <= 1.` Chứng minh rằng: `a^2 + b^2 + 1/a^2 + 1/b^2 >= 17/2` `2)` Cho các số thực `x >= 1 ; y >”

1. Giải đáp:

    

   Lời giải và giải thích chi tiết:

    1) Có : VT=a^2+1/{16a^2}+b^2+1/{16b^2}+15/16(1/a^2+1/b^2)

   VT>=1/2+1/2+15/16 . 2/{ab} (cauchy)

   VT>=1+15/{8ab}

   Lại có : a+b<=1

   ->2sqrt{ab}<=a+b<=1 (cauchy)

   <=>4ab<=1

   ->VT>=1+15/{2}=17/2

   Dấu = có <=>a=b=1/2

   2) Đặt x-1=a;y-1=b;z-1=c

   ->a,b,c>=0

   ->(1+a)(1+b)+(1+b)(1+c)+(1+c)(1+a)=9

   <=>ab+ac+bc+2(a+b+c)=8

   Mà a,b,c>=0

   =>2(a+b+c)<=8

   <=>a+b+c<=4

   =>x+y+z<=7

   =>(x+y+z)^2<=49

   <=>x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)<=49

   <=>x^2+y^2+z^2<=49-18=31

   ->A<=31

   Dấu = có khi a+b+c=4;ab+ac+bc=0

   <=>a=b=0;c=4 và các hoán vị

   <=> x=y=1 ; z=5 và các hoán vị 

   Vậy max A=31 <=> x=y=1 ; z=5 và hoán vị

   Trả lời