`4/(2a+b+c)+4/(a+2b+c)+4/(a+b+2c)` $\le$ `1/a+1/b+1/c`

1 bình luận về “`4/(2a+b+c)+4/(a+2b+c)+4/(a+b+2c)` $\le$ `1/a+1/b+1/c`”

1. BĐT phụ: 4/(x+y)≤1/x+1/y

   Áp dụng BĐT trên ta có:

   4/(2a+b+c)=4/((a+b)+(a+c))≤1/(a+b)+1/(a+c)=1/4.(4/(a+b)+4/(a+c))≤1/4(1/a+1/b+1/a+1/c)

   Chứng minh tương tự ta có:

   4/(a+2b+c)≤1/4(1/b+1/a+1/b+1/c)

   4/(a+b+2c)≤1/4(1/c+1/a+1/c+1/a)

   Cộng các vế tương ứng của các bất đẳng thức trên ta được:

   4/(2a+b+c)+4/(a+2b+c)+4/(a+b+2c)

   ≤1/4(1/a+1/b+1/a+1/c+1/b+1/a+1/b+1/c+1/c+1/a+1/c+1/b)

   =1/4.(4/a+4/b+4/c)

   =1/a+1/b+1/c

   Vậy 4/(2a+b+c)+4/(a+2b+c)+4/(a+b+2c)≤1/a+1/b+1/c

   Chúc bạn học tốt!

   Trả lời