a, cho a,b là các số dương và a+b=2. c/m 1/a +1/b >=2 b, CMR : 3x^2 – 4x + 2 > 0 với mọi x
a, cho a,b là các số dương và a+b=2. c/m 1/a +1/b >=2
b, CMR : 3x^2 – 4x + 2 > 0 với mọi x
1 bình luận về “a, cho a,b là các số dương và a+b=2. c/m 1/a +1/b >=2 b, CMR : 3x^2 – 4x + 2 > 0 với mọi x”
zuyn
Câu trả lời
a) Ta có: a + b = 2 => b = 2 – a Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: 1/a + 1/b >= 2sqrt((1/a)*(1/b)) = 2sqrt(1/(ab)) Thay b = 2 – a, ta cần chứng minh: 1/a + 1/(2-a) >= 2sqrt(a*(2-a)) <=> (3a-2)^2 >= 0 (đúng vì bất đẳng thức này luôn đúng)
b) Để giải bất phương trình này, ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số f(x)
= 3x^2 – 4x + 2 và xét nó trên các khoảng. Đạo hàm của f(x) là f'(x) = 6x – 4 f'(x) = 0 => x = 2/3 Ta có: f(2/3) = 2/3 > 0 f(x) có dạng đa thức bậc 2 với hệ số của x^2 là 3 > 0, do đó đồ thị của f(x) là một parabol hướng lên. Vì thế, hàm số sẽ lớn hơn 0 trên khoảng (-∞, 0) và (1, +∞). Vậy, bất phương trình đã được chứng minh.
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
1/a + 1/b >= 2sqrt((1/a)*(1/b))
= 2sqrt(1/(ab))
Thay b = 2 – a, ta cần chứng minh:
1/a + 1/(2-a) >= 2sqrt(a*(2-a))
<=> (3a-2)^2 >= 0 (đúng vì bất đẳng thức này luôn đúng)
b) Để giải bất phương trình này, ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số f(x)
Đạo hàm của f(x) là f'(x) = 6x – 4
f'(x) = 0 => x = 2/3
Ta có:
f(2/3) = 2/3 > 0
f(x) có dạng đa thức bậc 2 với hệ số của x^2 là 3 > 0, do đó đồ thị của f(x) là một parabol hướng lên.
Vì thế, hàm số sẽ lớn hơn 0 trên khoảng (-∞, 0) và (1, +∞).
Vậy, bất phương trình đã được chứng minh.