Bài `3:` Cho hai số `x,y ge 0` và thỏa mãn: `x+y = 1` Tìm GTLN của biểu thức `A = x/(y+1) + y/(x+1)`

1 bình luận về “Bài `3:` Cho hai số `x,y ge 0` và thỏa mãn: `x+y = 1` Tìm GTLN của biểu thức `A = x/(y+1) + y/(x+1)`”

1. * Max

   Từ giả thiết ta được 1gexge0 , 1geyge0

                               ⇔2gex+1ge1 , 2gey+1ge1

   ⇒x/(x+1)lex , y/(y+1)ley

   ⇒Alex+y=1

   Dấu = xảy ra khi (x;y)=(1;0) và các hoán vị còn lại

   Vậy A_(max)=1

   * Min

   Ta có A=x/(y+1)+y/(x+1)

              =(x^2)/(xy+x)+(y^2)/(xy+y)

   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schwarz

   (x^2)/(xy+x)+(y^2)/(xy+y)ge(x+y)^2/(2xy+x+y)=1/(2xy+1)ge1/((x+y)^2/2+1)=1/(1/2+1)=2/3

   Dấu = xảy ra khi (x;y)=(1/2;1/2)

   Vậy A_(min)=2/3

                                

   Trả lời