Bài 35: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 18cm, BC = 30cm a) Tính AC b) Gọi M là trung điểm BC. Đường thẳng qua M và v

1 bình luận về “Bài 35: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 18cm, BC = 30cm a) Tính AC b) Gọi M là trung điểm BC. Đường thẳng qua M và v”

1. a) Ta dùng định lí Pythagoras: $AC=\sqrt{B{C}^2–A{B}^2}=\sqrt{{30}^2–{18}^2}=24cm$. b) Gọi $\mathrm{\angle }ABC=\alpha$. Khi đó, $\mathrm{\angle }MBC=\mathrm{\angle }CBE={90}^{\circ }–\alpha$, $\mathrm{\angle }BME=\mathrm{\angle }ABC=\alpha$. Vậy $\mathrm{△}MBE$ có một góc bằng với $\mathrm{△}ABC$, nên chúng đồng dạng. c) Trên tam giác đồng dạng $\mathrm{△}ABC$ và $\mathrm{△}MBE$, ta có: ${\displaystyle \frac{EB}{AB}}={\displaystyle \frac{EM}{BM}}$. Từ đó suy ra: $EB={\displaystyle \frac{AB\cdot EM}{BM}}$. Với $BM={\displaystyle \frac{BC}{2}}=15cm$, ta tính được $EB={\displaystyle \frac{18\cdot BM}{AM}}$. Ta biết $AM={\displaystyle \frac{AC}{2}}=12cm$, nên $EB={\displaystyle \frac{18\times 15}{12}}=22.5cm$. Ta thấy rằng $\mathrm{△}MEB$ là tam giác vuông tại $E$, nên ta dễ dàng tính được $EM$ bằng định lý Pythagoras: $EM=\sqrt{B{E}^2–B{M}^2}=\sqrt{{22.5}^2–{15}^2}=12cm$. d) Ta có: $\mathrm{\angle }HAE=\mathrm{\angle }HMC={90}^{\circ }$. Khi đó, $\mathrm{△}HAE\sim \mathrm{△}HMC$, nên: ${\displaystyle \frac{HM}{HA}}={\displaystyle \frac{MC}{AE}}$ Giả sử $AE=x$ thì ta có: $MC=BM–BC\cdot {\displaystyle \frac{AE}{AB}}=15–{\displaystyle \frac{30x}{18}}=15–{\displaystyle \frac{5}{3}}x$. Từ đó suy ra: ${\displaystyle \frac{HM}{HA}}={\displaystyle \frac{15–{\displaystyle \frac{5}{3}}x}{{\displaystyle \frac{1}{2}}AC}}$. Trong tam giác $\mathrm{△}ABC$, ta áp dụng định lí Thales với đường thẳng $HM$: ${\displaystyle \frac{HM}{HA}}={\displaystyle \frac{MC}{AC–HA}}$ Thay giá trị của $MC$ vào, ta được: ${\displaystyle \frac{HM}{HA}}={\displaystyle \frac{15–{\displaystyle \frac{5}{3}}x}{{\displaystyle \frac{AC}{2}}–HA}}$ Ta thấy được: ${\displaystyle \frac{AC}{2}}–HA=HE$, nên: ${\displaystyle \frac{HM}{HA}}={\displaystyle \frac{15–{\displaystyle \frac{5}{3}}x}{HE}}$ Tương tự, ta có: ${\displaystyle \frac{HC}{HE}}={\displaystyle \frac{18–x}{AE}}$. Do đó, ${\displaystyle \frac{HM}{HA}}={\displaystyle \frac{HC}{HE}}$ tương đương với: $(15–{\displaystyle \frac{5}{3}}x)(18-x)=H{E}^2\cdot AE$ Thay giá trị của $AE$ và $HE$ vào, ta có: $(15–{\displaystyle \frac{5}{3}}x)(18-x)={\displaystyle \frac{3^2\cdot 2^2}{5^2}}({24}^2–{18}^2)$ Khi giải phương trình trên, ta được $x=12$. Thay giá trị $x$ vào ta có: ${\displaystyle \frac{HM}{HA}}={\displaystyle \frac{HC}{HE}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$. e) Từ $\mathrm{△}HCM\sim \mathrm{△}BCA$, ta có: ${\displaystyle \frac{MC}{BC}}={\displaystyle \frac{HC}{AC}}$ Vậy $AC\cdot HC=2MC\cdot BC=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}BC\cdot MC=S_{\mathrm{△}BCM}=S_{\mathrm{△}ABC}$. Khi đó, ta có $AC\cdot HC=S_{\mathrm{△}ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AB\cdot BC=270c{m}^2$. Do đó, $2MC={\displaystyle \frac{AC\cdot HC}{BC}}={\displaystyle \frac{270}{30}}=9cm$.

    

   Trả lời