Biến đổi tương đương `x^4 + y^4 >= {(x + y)^4}/8`

Biến đổi tương đương
`x^4 + y^4 >= {(x + y)^4}/8`

1 bình luận về “Biến đổi tương đương `x^4 + y^4 >= {(x + y)^4}/8`”

  1. Ta có: x^2 + y^2 \ge 2xy
    <=> x^2- 2xy + y^2 \ge 0
    <=> (x – y)^2 \ge 0  (luôn đúng)
    Áp dụng điều trên ta được:
    x^4 + y^4 \ge 2x^2 y^2
    Công cả hai vế với x^4 + y^4 ta được:
    x^4 + y^4 + x^4 + y^34 \ge 2x^2 y^2 + x^4 + y^4
    <=> 2x^4 + 2y^4 \ge x^4 + 2x^2 y^2 + y^4
    <=> x^4 + y^4 \ge (x^4)/2 + x^2 y^2 + (y^4)/2    (chia cả hai vế cho 2)
    <=> x^4  + y^4 \ge 1/2 (x^4 + 2x^2 y^2 + y^4)
    <=> x^4 + y^4 \ge 1/2 (x^2 + y^2)^2
    Lại có: x^2 + y^2 \ge 2xy
    Cộng cả hai vế với x^2 + y^2 ta được:
    x^2 + y^2 + x^2 + y^2 \ge 2xy + x^2 + y^2
    <=> 2x^2 + 2y^2 \ge x^2 + 2xy + y^2
    <=> x^2 + y^2 \ge (x^2)/2 + xy + (y^2)/2   (chia cả hai vế cho 2)
    <=> x^2 + y^2 \ge 1/2 (x^2 + 2xy + y^2)
    <=> x^2 + y^2 \ge 1/2 (x + y)^2
    => x^4 + y^4 \ge 1/2 [1/2 (x + y)^2]^2
    <=> x^4 + y^4 \ge 1/2 . 1/4 (x + y)^4
    <=> x^4 + y^4 \ge 1/8 (x + y)^4
    <=> x^4+ y^4 \ge ((x + y)^4)/8   (đpcm)
    $#duong612009$

    Trả lời

Viết một bình luận

Câu hỏi mới