Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trong tam giác ABC. Vẽ MD vuông góc với BC tại D, ME vuô

Câu 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trong tam giác ABC. Vẽ MD vuông góc với BC tại D, ME
vuông góc với AC tại E, MF vuông góc với AB tại F.
Đặt MD = x, ME = y, MF = z
a) Chứng minh rằng x + y + z không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b) Xác định vị trí của điểm M để x^2 + y^2 + z^2 đạt giá trị nhỏ nhất.

1 bình luận về “Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trong tam giác ABC. Vẽ MD vuông góc với BC tại D, ME vuô”

  1. Giải đáp:
     
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    a) Gọi a;h là độ dài cạnh và đường cao ΔABC
    Ký hiệu S là diện tích. Kẻ đường cao AH ta có:
    SBMC+SCMA+SAMB=SABC
    <=>2SBMC+2SCMA+2SAMB=2SABC
    <=>MD.BC+ME.CA+MF.AB=AH.BC
    <=>x.a+y.a+z.a=h.a
    <=>x+y+z=h ko đổi , ko phụ thuộc vị trí M(đpcm)
    b) Ta có BĐT quen thuộc:
    3(x2+y2+z2)>=(x+y+z)2=h2
    =>x2+y2+z2>=13.h2
    =>Min(x2+y2+z2)=13h2
    <=>x=y=z=13h<=>M là trọng tâm ΔABC
     

    Trả lời

Viết một bình luận

Câu hỏi mới