Cho `a, b >0`. Chứng minh bất đẳng thức sau: `(a^2)/x + (b^2)/y >= ((a+b)^2)/(x+y)` *Không dùng Svacxo.

2 bình luận về “Cho `a, b >0`. Chứng minh bất đẳng thức sau: `(a^2)/x + (b^2)/y >= ((a+b)^2)/(x+y)` *Không dùng Svacxo.”

1. Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:

   Giả sử : (a^2)/x + (b^2)/y >= ((a+b)^2)/(x+y)

   <=>(a^2)/x + (b^2)/y – ((a+b)^2)/(x+y)>=0

   <=>(a^2y(x+y)+b^2x(x+y)-xy(a+b)^2)/(xy(x+y))>=0

   =>a^2y(x+y)+b^2x(x+y)-xy(a^2+2ab+b^2)>=0 (vì x;y > 0)

   <=>a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy-a^2xy-2abxy-b^2xy>=0

   <=>a^2y^2+b^2x^2-2abxy>=0

   <=>(ay)^2-2*ay*bx+(bx)^2>=0

   <=>(ay-bx)^2>=0 luôn đúng với mọi a,b,x,y

   Vậy ta được đpcm

   -ngocthu

   Trả lời
2. ** Sửa đề: 

   Cho x,y > 0. Chứng minh:

   a^2/x + b^2/y >= (a + b)^2/(x + y)

   ** Chứng minh:

   Biến đổi tương đương:

   a^2/x + b^2/y >= (a + b)^2/(x + y)

   <=> (a^2 y + b^2 x)/(xy) >= (a + b)^2/(x + y)

   <=> (a^2 y + b^2 x)(x + y) >= xy(a + b)^2

   <=> (a^2 xy + a^2 y^2 + b^2 x^2 + b^2 xy) – (a^2 xy + 2 abxy + b^2 xy) >= 0

   <=> a^2 y^2  – 2abxy + b^2 x^2 >= 0

   <=> (ay – bx)^2 >= 0 (luôn đúng)

   Vậy bđt đúng và dấu “=” xảy ra khi: ay = bx hay a/x = b/y.

    

   Trả lời