Cho `a , b > 0` và `a + b <= 4/3` Tìm GTNN: `C = 1/{a^2 + b^2} + 2/{ab} + ab`

1 bình luận về “Cho `a , b > 0` và `a + b <= 4/3` Tìm GTNN: `C = 1/{a^2 + b^2} + 2/{ab} + ab`”

1. $\text{Min C = 437/72 khi a = b = }$ $\dfrac{2}{3}$

   $\text{Cách làm : }$

   $\text{Hướng giải quyết }$

   $\text{ Dễ thấy nếu cho so sánh }$$a^{2}$ + $b^{2}$≥ $\text{( a + b )^2 /2}$

   $\text{Thì phân số đầu tiên sẽ ngược dấu vì x ≥ y thì }$ $\dfrac{1}{x}$ ≤ $\dfrac{1}{y}$

   $\text{Còn biến ab sau không thể đánh giá lớn hơn với  a + b được }$

   $\text{Vậy mấu chốt ở đây là tách }$ $\dfrac{2}{ab}$ $\text{thành 2 phần}$

   $\text{để đánh giá được 2 phần tử còn lại }$

   $\text{Ta có bất đẳng thức sau : }$ $\dfrac{1}{a}$ + $\dfrac{1}{b}$ ≥ $\dfrac{4}{a + b}$

   $\text{Bất đẳng thức cauchy : a + b ≥ 2√(a + b ) }$

   $\text{Ta có bài giải : }$

   $\text{C = }$ $\dfrac{1}{a^{2} + b^{2} }$ + $\dfrac{2}{ab}$ + $\text{ab}$

   $\text{ = }$ $\dfrac{1}{a^{2} + b^{2} }$  + $\dfrac{1}{2ab}$ + $\text{ab}$ + $\dfrac{32}{81. 2ab}$ + $\dfrac{211}{162ab}$

   $\text{Lần lượt đánh giá : }$

   $\dfrac{1}{a^{2} + b^{2} }$  + $\dfrac{1}{2ab}$ ≥ $\dfrac{4}{(a + b)^{2}}$ ≥ $\dfrac{4}{(4/3) ^{2}}$ 

   $\text{= }$ $\dfrac{9}{4}$. $\text{(1)}$

   $\text{ Mặt khác áp dụng bất đẳng thức cauchy}$

   $\dfrac{32}{81. 2ab}$ $\text{+ ab }$ ≥ $\text{2 . √}$$\dfrac{32.ab}{81.2.ab}$ = $\dfrac{8}{9}$ $\text{(2)}$

   $\text{ Ta lại có ab ≤ }$$(a + b )^{2}$ : 4 = $\dfrac{4}{9}$

   $\dfrac{211}{162ab}$ ≤ $\dfrac{211}{72}$ $\text{(3)}$

   $\text{Cộng (1),(2),(3) → C ≤ }$ $\dfrac{437}{72}$

   $\text{Dấu bằng xảy ra khi a = b = }$ $\dfrac{2}{3}$

   $\text{#hoangthuyc2}$

   Trả lời