cho a+b+c=3, chứng minh A=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca> hoặc bằng 6

1 bình luận về “cho a+b+c=3, chứng minh A=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca> hoặc bằng 6”

1. Giải đáp:

    

   Lời giải và giải thích chi tiết:

    A=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca

   A=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)-(ab+bc+ca)

   A=(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)

   A=9-(ab+bc+ca)

   Áp dụng BĐT cosi cho 2 số không âm ta có:

   a^2+b^2>=2ab

   b^2+c^2>=2bc

   c^2+a^2>=2ca

   Cộng từng vế các BĐT trên ta có:

   2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)

   <=>a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca

   <=>a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)>=3(ab+bc+ca)

   <=>(a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)

   <=>3(ab+bc+ca)<=9

   <=>ab+bc+ca<=3

   <=>9-(ab+bc+ca)>=6

   Hay A=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca>=6.

   Trả lời