Cho `a, b, c` là các số thực dương bất kì, chứng minh: `a/(b + c) + b/(a + c) + c/(a + b) >= 1 + (3(a^3 + b^3 + c^3))/((a + b

1 bình luận về “Cho `a, b, c` là các số thực dương bất kì, chứng minh: `a/(b + c) + b/(a + c) + c/(a + b) >= 1 + (3(a^3 + b^3 + c^3))/((a + b”

1. Ta có:

   6(a^3+b^3+c^3-3abc)

   =6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

   Có: 6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) >= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)

   ⇔ 6a^2+6b^2+6c^2-ab-bc-ca >= a^2+b^2+c^2

   ⇔ 5a^2 + 5b^2 + 5c^2 – ab – bc – ca >= 0

   ⇔ (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2+(ab+bc+ca+3a^2+3b^2+3c^3)>=0 (Đúng với mọi a,b,c là các số thực dương)

   ⇒ 6(a^3+b^3+c^3-3abc)>=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)

   Mà 6(a^3+b^3+c^3) >= 6(a^3+b^3+c^3-3abc)

   ⇒ 6(a^3+b^3+c^3) >= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)

   ⇒ 2*{3(a^3+b^3+c^2)}/{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)} >= 1

   ⇒ {3(a^3+b^3+c^2)}/{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)} >= 1/2

   ⇒ 1+{3(a^3+b^3+c^2)}/{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)} >= 3/2 (1)

   ——————-

   BĐT phụ: (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) >= 9 với x,y,z dương

   Áp dụng BTĐ Cô-si, có:

   (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) >= 3*\root{3}{xyz}*3\root{3}{1/xyz}=9

   Ta có:

   a/{b+c}+b/{a+c}+c/{a+b}>=1+{3(a^3+b^3+c^2)}/{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}

   ⇔ {a+b+c}/{b+c}+{a+b+c}/{a+c}+{a+b+c}/{a+b}-4>={3(a^3+b^3+c^2)}/{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}

   ⇔ (a+b+c)(1/{b+c}+1/{a+c}+1/{a+b})>=9/2

   ⇔ 1/2[(b+c)+(a+c)+(a+b)](1/{b+c}+1/{a+c}+1/{a+b}) >= 9/2

   Áp dụng BĐT phụ vừa chứng minh, ta có:

   1/2[(b+c)+(a+c)+(a+b)](1/{b+c}+1/{a+c}+1/{a+b}) >= 1/2*9 = 9/2

   ⇒ a/{b+c}+b/{a+c}+c/{a+b}>=1+{3(a^3+b^3+c^2)}/{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)} đúng (2)

   ——————-

   Từ (1) và (2), ta được:

   a/{b+c}+b/{a+c}+c/{a+b}>=1+{3(a^3+b^3+c^2)}/{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}>=3/2 với a,b,c là ba số thực dương bất kỳ (đpcm)

   Trả lời