Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Cm a² + b ² + c² + 2abc < 2

1 bình luận về “Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Cm a² + b ² + c² + 2abc < 2”

1. Theo bất đẳng thức tam giác, ta có : $\{\begin{array}{l}c<a+b\\ b<c+a\\ a<b+c\end{array}$<=> $\{\begin{array}{l}2c<a+b+c\\ 2b<a+b+c\\ 2a<a+b+c\end{array}$<=> $\{\begin{array}{l}2c<2\\ 2b<2\\ 2a<2\end{array}$<=> $\{\begin{array}{l}c<1\\ b<1\\ a<1\end{array}$

   <=>(1-a)(1-b)(1-c)>0

   <=>[(1-b)-a(1-b)](1-c)>0

   <=>(1-b-a+ab)(1-c)>0

   <=>(1-c)-b(1-c)-a(1-c)+ab(1-c)>0

   <=>1-c-b+bc-a+ac+ab-abc>0

   <=>2-2c-2b+2bc-2a+2ac+2ab-2abc>0

   <=>2-2c-2b+2bc+2ac+2ab-2abc+a^2 +b^2 +c^2 -a^2 -b^2 -c^2 >0

   <=>(a^2 +b^2 +c^2 +2bc+2ac+2ab)-2(a+b+c)+2-a^2 -b^2 -c^2 -2abc>0

   <=>(a+b+c)^2 -2(a+b+c)+2-a^2 -b^2 -c^2 -2abc>0

   <=>2^2 -2.2+2-a^2 -b^2 -c^2 -2abc>0

   <=>2-a^2 -b^2 -c^2 -2abc>0

   <=>a^2 +b^2 +c^2 +2abc<2

   ->đpcm

   Trả lời