Cho a,b là hai số dương thỏa mãn `a + b <= 1`. Tìm GTNN của biểu thức : `P = 1/{a^2 + b^2 + 1} + 1/{2ab}` Chứng minh chi t

2 bình luận về “Cho a,b là hai số dương thỏa mãn `a + b <= 1`. Tìm GTNN của biểu thức : `P = 1/{a^2 + b^2 + 1} + 1/{2ab}` Chứng minh chi t”

1. Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

   Ta có bất đẳng thức 1/x+1/y\ge4/(x+y) với x,y>0

   Thật vậy, xét hiệu 1/x+1/y-4/(x+y)=(y(x+y))/(xy(x+y))+(x(x+y))/(xy(x+y))-(4xy)/(xy(x+y))=(xy+y^2+x^2+xy-4xy)/(xy(x+y))=(x^2-2xy+y^2)/(xy(x+y))=(x-y)^2/(xy(x+y))

   Với AAx,y>0 ta có: {((x-y)^2\ge0),(xy>0),(x+y>0):}=>(x-y)^2/(xy(x+y))\ge0=>1/x+1/y-4/(x+y)\ge0=>1/x+1/y\ge4/(x+y)(1)

   Ta có bất đẳng thức: xy\le(x+y)^2/4

   Thật vậy, xét hiệu xy-(x+y)^2/4=(4xy-x^2-2xy-y^2)/4=(-x^2+2xy-y^2)/4=(-(x-y)^2)/4

   Với AAa,b có: -(x-y)^2\le0=>(-(x-y)^2)/4\le0=>xy-(x+y)^2/4\le0=>xy\le(x+y)^2/4(2)

   Áp dụng bất đẳng thức (1) và (2) vào bất đẳng thức P có:

   P=1/(a^2+b^2+1)+1/(2ab)

   P=1/(a^2+b^2+1)+1/(6ab)+1/(3ab)

   P\ge4/((a^2+b^2+2ab)+4ab+1)+1/(3. (a+b)^2/4)

   P\ge4/((a+b)^2+4. (a+b)^2/4+1)+1/(3. (a+b)^2/4)

   P\ge4/(1^2+4. 1^2/4+1)+1/(3. 1^2/4)

   P\ge8/3

   Dấu = xảy ra khi: a=b=1/2

   Vậy a=b=1/2 thì P có GTNN là 8/3

   Trả lời
2. P=1/(a^2+b^2+1)+1/(2ab)
   =1^2/(a^2+b^2+1)+1^2/(6ab)+1/(3ab)
   >=(1+1)^2/(a^2+b^2+1+6ab)+1/(3ab)      (CBS)
   =4/((a+b)^2+4ab+1)+1/(3ab)
   Lại có: a+b>=2sqrt(ab) (AM-GM)
   =>(a+b)^2>=4ab
   =>ab<=(a+b)^2/4<=1/4

   $\\$

   =>1/(3ab)>=$\dfrac{1}{3. \dfrac14}=\dfrac43$

   $\\$
   Và: 4/((a+b)^2+4ab+1)
   >=4/(1^2+(a+b)^2+1)
   >=4/(1+1^2+1)
   =4/3
   Do đó: P>=4/3+4/3=8/3
   Dấu “=” xảy ra <=>{(a+b<=1),(a=b):}=>a=b=1/2

   Vậy P_(min)=8/3<=>a=b=1/2

   Trả lời