cho các số dương `a, b, c` thỏa `a+ b+ c=1` CMR `a/(a+b^2)+b/(b+c^2)+c/(c+a^2) <= 1/4(1/a+1/b+1/c)`

2 bình luận về “cho các số dương `a, b, c` thỏa `a+ b+ c=1` CMR `a/(a+b^2)+b/(b+c^2)+c/(c+a^2) <= 1/4(1/a+1/b+1/c)`”

1. Giải đáp:

    

   Lời giải và giải thích chi tiết:

    Có : VT=sum_{cyc} a/{a+b^2}=’sum_{cyc} a/{a^2+ab+ac+b^2}

   =sum_{cyc} a/4 .  4/{a^2+b^2+a(b+c)}

   Áp dụng BĐT 1/x+1/y >=4/{x+y}

   VT<= sum_{cyc} a/4 . (1/{a^2+b^2} +1/{ab+ac})

   <= sum_{cyc} a/4(1/{2ab}+1/{4ab}+1/{4ac})

   =sum_{cyc} 1/4 (1/{2b} + 1/{4b}+1/{4c})

   =1/4(1/a+1/b+1/c)

   Dấu = có <=>a=b=c=1/3

   Trả lời
2. a/(a + b^2)

   = 1/(1 + b^2/a)

   = 1/(a + b^2/a + b + c)

   <= 1/(2b + b + c) (AM – GM)

   <= 1/16 . (2/b + 1/b + 1/c) (CBS)

   = 1/16 . (3/b + 1/c)

   Tương tự:

   b/(b + c^2) <= 1/16 . (3/c + 1/a)

   c/(c + a^2) <= 1/16 . (3/a + 1/b)

   -> VT <= 1/16. (4/a + 4/b + 4/c) = VP

   Dấu “=” xảy ra khi: a = b = c = 1/3.

    

   Trả lời