Cho$\mathrm{\Delta }$ABC , đường phân giác AD. Gọi E là điểm đối xứng với A qua C. Đường thẳng đi qua B song song với AC cắt ED tại K.

1 bình luận về “Cho$\mathrm{\Delta }$ABC , đường phân giác AD. Gọi E là điểm đối xứng với A qua C. Đường thẳng đi qua B song song với AC cắt ED tại K.”

1. Giải đáp:

   Gọi một điểm $F$ bất kì thuộc tia đối của tia $AC$.

   Ta có $BK//AC$ mà $AC\equiv CE\Rightarrow BK//CE$

   $\Rightarrow \widehat{BKD}=\widehat{CED}$ (cặp góc so le trong).

   Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ có đường phân giác $AD$ ($D\in BC$).

   Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác có:
   ${\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{BD}{CD}}$ (cặp cạnh tỉ lệ tương ứng).
   Xét hai tam giác $\mathrm{\Delta }BDK$ và $\mathrm{\Delta }CDE$ có:

   $\widehat{BDK}=\widehat{CDE}$ (cặp góc đối đỉnh).

   $\widehat{BKD}=\widehat{CED}$ (chứng minh trên).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }BDK\backsim \mathrm{\Delta }CDE$ (góc-góc).
   $\Rightarrow {\displaystyle \frac{BK}{CE}}={\displaystyle \frac{BD}{CD}}$ (cặp cạnh tỉ lệ tương ứng).
   Mà ${\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{BD}{CD}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{BK}{CE}}$
   Mà $AC=CE$ ($E$ đối xứng với $A$ qua $C$) $\Rightarrow AB=BK$

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABK$ cân tại $B$ (hai cạnh bên bằng nhau).

   $\Rightarrow \widehat{AKB}=\widehat{BAK}$ (hai góc đáy bằng nhau).

   Ta có $BK//AC$ mà $AF\equiv AC\Rightarrow BK//AF$.

   $\Rightarrow \widehat{AKB}=\widehat{KAF}$ (cặp góc so le trong).

   Mà $\widehat{AKB}=\widehat{BAK}\Rightarrow \widehat{KAF}=\widehat{BAK}$

   $\Rightarrow AK$ là đường phân giác của $\widehat{BAF}$.
   $\Rightarrow \widehat{BAK}={\displaystyle \frac{1}{2}}\widehat{BAF}$ (đường phân giác chia đôi một góc).
   $AD$ là đường phân giác của $\widehat{BAC}$.
   $\Rightarrow \widehat{BAD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\widehat{BAC}$ (đường phân giác chia đôi một góc).
   $\widehat{BAK}+\widehat{BAD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\widehat{BAF}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\widehat{BAC}$
   $\Rightarrow \widehat{DAK}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\widehat{BAF}+\widehat{BAC})$
   $\Rightarrow \widehat{DAK}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {180}^{\circ }$ (kề bù).
   $\Rightarrow \widehat{DAK}={90}^{\circ }$.

   

   Trả lời