Cho$\Delta$ABC , đường phân giác AD. Gọi E là điểm đối xứng với A qua C. Đường thẳng đi qua B song song với AC cắt ED tại K.

1 bình luận về “Cho$\Delta$ABC , đường phân giác AD. Gọi E là điểm đối xứng với A qua C. Đường thẳng đi qua B song song với AC cắt ED tại K.”

1. Giải đáp:

   Gọi một điểm $F$ bất kì thuộc tia đối của tia $AC$.

   Ta có $BK//AC$ mà $AC\equiv CE\Rightarrow BK//CE$

   $\Rightarrow\widehat{BKD}=\widehat{CED}$ (cặp góc so le trong).

   Xét $\Delta ABC$ có đường phân giác $AD$ ($D\in BC$).

   Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác có:
   $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}$ (cặp cạnh tỉ lệ tương ứng).
   Xét hai tam giác $\Delta BDK$ và $\Delta CDE$ có:

   $\widehat{BDK}=\widehat{CDE}$ (cặp góc đối đỉnh).

   $\widehat{BKD}=\widehat{CED}$ (chứng minh trên).

   $\Rightarrow\Delta BDK\backsim\Delta CDE$ (góc-góc).
   $\Rightarrow\dfrac{BK}{CE}=\dfrac{BD}{CD}$ (cặp cạnh tỉ lệ tương ứng).
   Mà $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BK}{CE}$
   Mà $AC=CE$ ($E$ đối xứng với $A$ qua $C$) $\Rightarrow AB=BK$

   $\Rightarrow \Delta ABK$ cân tại $B$ (hai cạnh bên bằng nhau).

   $\Rightarrow\widehat{AKB}=\widehat{BAK}$ (hai góc đáy bằng nhau).

   Ta có $BK//AC$ mà $AF\equiv AC\Rightarrow BK//AF$.

   $\Rightarrow \widehat{AKB}=\widehat{KAF}$ (cặp góc so le trong).

   Mà $\widehat{AKB}=\widehat{BAK}\Rightarrow\widehat{KAF}=\widehat{BAK}$

   $\Rightarrow AK$ là đường phân giác của $\widehat{BAF}$.
   $\Rightarrow\widehat{BAK}=\dfrac12\widehat{BAF}$ (đường phân giác chia đôi một góc).
   $AD$ là đường phân giác của $\widehat{BAC}$.
   $\Rightarrow\widehat{BAD}=\dfrac12\widehat{BAC}$ (đường phân giác chia đôi một góc).
   $\widehat{BAK}+\widehat{BAD}=\dfrac12\widehat{BAF}+\dfrac12\widehat{BAC}$
   $\Rightarrow\widehat{DAK}=\dfrac12(\widehat{BAF}+\widehat{BAC})$
   $\Rightarrow \widehat{DAK}=\dfrac12\!\cdot\!180^\circ$ (kề bù).
   $\Rightarrow \widehat{DAK}=90^\circ$.

   

   Trả lời