Cho hình bình hành ABCD , O là giao điểm của hai đường chéo . M , N , P , Q là trung điểm các đoạn AB , OB , CD , OD Chứng m

2 bình luận về “Cho hình bình hành ABCD , O là giao điểm của hai đường chéo . M , N , P , Q là trung điểm các đoạn AB , OB , CD , OD Chứng m”

1. Vì ABCD là hình bình hành(GT)
   mà O là giao điểm của AC và BD(GT)

   Từ hai điều đó suy ra:OA=OC(t/c HBH)
   ΔABO, ta có:

   M là trung điểm của AB(GT)
   N là trung điểm của OB(GT)

   Từ hai điều đó suy ra: MN là đường trung bình của ΔABO(dhnb)
                                     ⇒MN=AO/2 và MN//AO(t/c ĐTB)
   Xét ΔCDO, ta có:
   P là trung điểm của DC(GT)
   Q là trung điểm của DO(GT)
   Từ hai điều đó suy ra:PQ là đường trung bình của ΔCDO(dhnb)
                                     ⇒PQ=OC/2 và PQ//OC(t/c ĐTB)
   Vì MN=AO/2(cmt)
   PQ=OC/2(cmt)
   mà AO=OC(cmt)

   Từ những điều đó suy ra: MN=PQ

   Vì MN//AO(cmt)
   PQ//OC(cmt)
   mà O∈AC

   Từ những điều đó suy ra: MN//PQ

   Xét tứ giác MNPQ, ta có:

   MN=PQ(cmt)
   MN//PQ(cmt)
   Từ hai điều đó suy ra:MNPQ là hình bình hành(dhnb)

   

   Trả lời
2. Xét ΔAOB ta có

   + M là trung điểm AB (gt)

   + N là trung điểm OB (gt)

   ⇒ MN là đường trung bình ΔAOB (định nghĩa)

   ⇒ MN//OA và MN=$\frac{OA}{2}$ (định lý 2 về đường trung bình) (1)

   Xét ΔCOD ta có

   + P là trung điểm CD (gt)

   + Q là trung điểm OD (gt)

   ⇒ PQ là đường trung bình ΔCOD (định nghĩa)

   ⇒ PQ//OC và PQ=$\frac{OC}{2}$ (định lý 2 về đường trung bình) (2)

   Theo đề cho, ta lại có

   O là giao điểm của hai đường chéo (gt)

   ⇒ O là trung điểm của đường chéo AC (vì ABCD là hình bình hành (gt) )

   ⇒ OA=OC và 3 điểm O,A,C thẳng hàng

   Nên từ (1) và (2) ta được

   ⇒ MN//PQ và MN=PQ

   ⇒ Tứ giác MNPQ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết hình bình hành) (Đpcm)

   

   Trả lời