Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 9cm. Lấy điểm H thuộc DB sao cho AH vuông góc DB. Gọi M, I lần lượt là trung điểm của DC và HB, N thuộc AH sao cho DN vuông góc AI.
a/ Chứng minh rằng ΔAHB đồng dạng ΔBCD
b/ Tính độ dài AH
c/ Chứng minh: AN.BD = DM.DA
CHỦ YẾU CÂU C, KO GIẢI CÂU C=REPORT
Ta có:
∠AHB = 90 độ (do đề bài cho AH ⊥ HB)
∠ABC = 90 độ (do ABCD là hình chữ nhật)
Do đó,
∠AHB = ∠ABC
Tiếp tục, ta có:
AB/BC = 12/9 = 4/3
Do AH là chiều cao của tam giác AHB, nên AB = AH + HB.
Vì M là trung điểm của DC, nên DM = MC = 1/2 * BC = 1/2 * 9 = 4.5cm.
Do đó, ta được tỷ lệ:
AB/DM = 12/4.5 = 4/1.5 = 4/3
Vì ∠AHB = ∠ABC và tỷ lệ cạnh đối với góc vuông bằng nhau, nên:
ΔAHB ~ ΔBCD
b) Tính độ dài AH
Ta sẽ dùng định lý Pythagoras để tính AH. Trong tam giác vuông AHB, ta có:
AB^2 = AH^2 + HB^2
Đặt x = AH, vậy HB = 12 – x. Thay vào phương trình trên, ta có:
12^2 = x^2 + (12 – x)^2
144 = x^2 + 144 – 24x + x^2
0 = x^2 – 24x + 72
Đây là một phương trình bậc hai với một ẩn số. Giải phương trình trên, ta tìm được:
x = AH = 6cm
c) Chứng minh: AN.BD = DM.DA
Ta có:
AN = AH – HN = 6 – HN
Vì DN ⊥ AI, theo định lí góc phụ của đường cao, ta có:
∠DHN = ∠DMI
Vì ΔAHB ~ ΔBCD và M là trung điểm của DC, nên:
HN/DM = HB/CD = 6/9 = 2/3
Suy ra:
HN = 2/3 * DM = 2/3 * 4.5 = 3cm
Vậy,
AN = AH – HN = 6 – 3 = 3cm
Ta đã biết DM = 4.5cm. Bây giờ, ta sẽ tính DA:
DA = AD + DM = 9 + 4.5 = 13.5cm
Cuối cùng, tính AN.BD và DM.DA:
AN.BD = 3 * 12 = 36
DM.DA = 4.5 * 13.5 = 60.75 – 24.75 = 36
Do đó, AN.BD = DM.DA.