Cho hình vuông ABCD. Gọi K là điểm nằm giữa A và B, I là điểm nằm giữa B và C sao cho BK = CI. Đường thẳng AI cắt DC tại M a

1 bình luận về “Cho hình vuông ABCD. Gọi K là điểm nằm giữa A và B, I là điểm nằm giữa B và C sao cho BK = CI. Đường thẳng AI cắt DC tại M a”

1. Giải đáp:

   a) $ABCD$ là hình vuông (giả thiết).

   $\Rightarrow AB=BC$ (hai cạnh kề bằng nhau).

   Mà $BK=CI\Rightarrow AB-BK=BC-CI\Rightarrow AK=BI$.
   Có $BK=CI$ và $AK=BI\Rightarrow {\displaystyle \frac{AK}{BK}}={\displaystyle \frac{BI}{IC}}$.
   Xét hai tam giác vuông $\mathrm{\Delta }ABI$ và $\mathrm{\Delta }MCI$ có:

   $\widehat{AIB}=\widehat{MIC}$ (đối đỉnh).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABI\backsim \mathrm{\Delta }MCI$ (góc-góc).
   $\Rightarrow {\displaystyle \frac{AI}{MI}}={\displaystyle \frac{BI}{IC}}$ (cặp tỉ lệ tương ứng).
   Mà ${\displaystyle \frac{AK}{BK}}={\displaystyle \frac{BI}{IC}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{AK}{BK}}={\displaystyle \frac{AI}{MI}}$.
   Xét $\mathrm{\Delta }ABM$ ($I\in AM,K\in AB$) có:
   ${\displaystyle \frac{AK}{BK}}={\displaystyle \frac{AI}{MI}}$ (chứng minh trên).
   $\Rightarrow IK//BM$ (định lý Thales đảo).

   b) Hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$

   $\Rightarrow OB=OC$ (giao điểm đường chéo hình vuông).

   Hình vuông $ABCD$ có đường chéo $BD$.

   $\Rightarrow \widehat{ABD}={45}^{\circ }$ (đường chéo chia đôi góc vuông).

   $\Rightarrow \widehat{OBK}={45}^{\circ }$ ($O\in BD,K\in AB$).

   Hình vuông $ABCD$ có đường chéo $AC$.

   $\Rightarrow \widehat{ACB}={45}^{\circ }$ (đường chéo chia đôi góc vuông).

   $\Rightarrow \widehat{OCI}={45}^{\circ }$ ($O\in AC,I\in BC$).

   Xét hai tam giác $\mathrm{\Delta }BKO$ và $\mathrm{\Delta }OCI$ ta có:

   $OB=OC$ (chứng minh trên).

   $\widehat{OBK}=\widehat{OCI}(={45}^{\circ }$).

   $BK=IC$ (giả thiết).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }BKO=\mathrm{\Delta }OCI$ (cạnh-góc-cạnh).

   $\Rightarrow OK=OI$ (hai cạnh tương ứng).

   $\Rightarrow \widehat{BOK}=\widehat{IOC}$ (hai góc tương ứng).

   Ta có $AC\mathrm{\perp }BD$ (hai đường chéo vuông góc).

   $\Rightarrow BO\mathrm{\perp }OC\Rightarrow \widehat{BOC}={90}^{\circ }$.

   $\Rightarrow \widehat{IOB}+\widehat{IOC}={90}^{\circ }$

   $\Rightarrow \widehat{IOB}+\widehat{BOK}={90}^{\circ }$

   $\Rightarrow \widehat{IOK}={90}^{\circ }\Rightarrow \mathrm{\Delta }KOI$ vuông tại $O$

   Mà $\mathrm{\Delta }KOI$ cân tại $O$ ($OK=IO$, chứng minh trên).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }KOI$ vuông cân $\Rightarrow \widehat{OIK}={45}^{\circ }$.

   Gọi $OI\cap BM=F$. Ta có $IK//BM$ (chứng minh trên).

   $\Rightarrow \widehat{OIK}=\widehat{BFI}$ (cặp góc đồng vị).

   $\Rightarrow \widehat{BFI}={45}^{\circ }$ (do $\widehat{OIK}={45}^{\circ }$).

   Mà $\widehat{OCI}={45}^{\circ }\Rightarrow \widehat{OCI}=\widehat{BFI}$.

   Xét hai tam giác $\mathrm{\Delta }OCI$ và $\mathrm{\Delta }BFI$ ta có:

   $\widehat{OCI}=\widehat{BFI}$ (chứng minh trên).

   $\widehat{OIC}=\widehat{BIF}$ (cặp góc đối đỉnh).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }OCI\backsim \mathrm{\Delta }BFI$ (góc-góc).
   $\Rightarrow {\displaystyle \frac{IO}{IF}}={\displaystyle \frac{BI}{IC}}$ (cặp tỉ lệ tương ứng).
   Xét hai tam giác $\mathrm{\Delta }BOI$ và $\mathrm{\Delta }ICF$ ta có:

   $\widehat{OIB}=\widehat{CIF}$ (cặp góc đối đỉnh).
   ${\displaystyle \frac{IO}{IF}}={\displaystyle \frac{BI}{IC}}$ (chứng minh trên).
   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }BOI\backsim \mathrm{\Delta }ICF$ (cạnh-góc-cạnh).

   $\Rightarrow \widehat{BOI}=\widehat{ICF}$ (hai góc tương ứng).

   $\Rightarrow \widehat{OBI}=\widehat{CFI}$ (hai góc tương ứng).

   Mà $\widehat{OBI}={45}^{\circ }$ (đường chéo chia đôi góc vuông).

   $\Rightarrow \widehat{CFI}={45}^{\circ }=\widehat{BFI}$ ($\widehat{BFI}={45}^{\circ }$).

   $\Rightarrow \widehat{CFI}+\widehat{BFI}={45}^{\circ }+{45}^{\circ }$

   $\Rightarrow \widehat{BFC}={90}^{\circ }$ (cặp góc kề nhau).

   Xét hai tam giác vuông $\mathrm{\Delta }BCF$ và $\mathrm{\Delta }BMC$ có:

   $\widehat{FBC}=\widehat{BCM}$ ($F\in BM$).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }BCF\backsim \mathrm{\Delta }BMC$ (góc-góc).

   $\Rightarrow \widehat{BCF}=\widehat{BMC}$ (hai góc tương ứng).

   Mà $\widehat{BOI}=\widehat{BCF}\Rightarrow \widehat{BOI}=\widehat{BMC}$.

   Xét hai tam giác vuông $\mathrm{\Delta }BCM$ và $\mathrm{\Delta }CDN$ ta có:

   $BC=CD$ ($ABCD$ là hình vuông).

   $CM=CN$ (giả thiết).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }BCM=\mathrm{\Delta }CDN$ (cạnh-góc-cạnh).

   $\Rightarrow \widehat{BMC}=\widehat{CND}$ (hai góc tương ứng).

   Mà $\widehat{BOI}=\widehat{BMC}\Rightarrow \widehat{BOI}=\widehat{CND}$

   $\Rightarrow \widehat{BOI}=\widehat{BND}$ ($BC\equiv NC$).

   Xét hai tam giác $\mathrm{\Delta }BOI$ và $\mathrm{\Delta }BND$ có:

   $\widehat{BOI}=\widehat{BND}$ (chứng minh trên).

   $\widehat{IBO}=\widehat{NBD}$ ($I\in BN,O\in BD$).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }BOI\backsim \mathrm{\Delta }BND$ (góc-góc).

   

   Trả lời