Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng `n^3 – n \vdots 24`

1 bình luận về “Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng `n^3 – n \vdots 24`”

1. Ta có: n^3 – n = n(n^2 – 1) = (n – 1)n(n + 1)          (*)

   Vì (n – 1)n(n + 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp

   => (n – 1)n(n + 1) \vdots 3         

   hay n^3 – n \vdots 3        (1)

   Mặt khác: n là số tự nhiên lẻ

   => n = 2k + 1    (k \in N)

   Thay n = 2k + 1 vào (*) ta được:

   (2k + 1 – 1)(2k + 1)(2k + 1+ 1)

   = 2k(2k + 1)(2k + 2)

   = 4k(k + 1)(2k + 1)

   Vì k(k + 1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp 

   => k(k + 1) \vdots 2

   => 4k(k + 1)(2k + 1) \vdots 4.2 = 8

   hay n^3 – n \vdots 8        (2)

   Mà (3 , 8) = 1          (3)

   Từ (1), (2) và (3) => n^3 – n \vdots 3.8 = 24    (đpcm)

   Trả lời