Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác. Gọi E, F, H lần lượt là trung điểm của AG, BG, CG. Chứng minh các tam giác EFH

1 bình luận về “Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác. Gọi E, F, H lần lượt là trung điểm của AG, BG, CG. Chứng minh các tam giác EFH”

1. $\text{→ Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:}$

   $\text{→ Giả sử ban đầu G là giao điểm của 3 đường}$

   $\text{trung tuyến CM , BN , AP ( M , N , P $\in$ Δ ABC ).}$

   $\text{- Xét ΔAGB có :}$

   $\text{+) EA = EG ( GT ).}$

   $\text{+) FG = FB ( GT ).}$

   $\text{⇒ EF là đường trung bình.}$

   $\text{⇒ EF = $\dfrac{AB}{2}$. ( Tính chất đường trung bình ).     ( 1 )}$

   $\text{→ Tương tự với ΔAGC và ΔBGC có :}$

   $\text{+) EH = $\dfrac{AC}{2}$       ( 2 )}$

   $\text{+) FH = $\dfrac{BC}{2}$      ( 3 )}$

   $\text{→ Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) ta suy ra :}$

   $\text{+) ΔEFH $\backsim$ ΔABC ( c – c – c ).                 ( ĐPCM ).}$

   $\text{→ Gọi K , P , T lần lượt là giao điểm của EF và CM,}$

   $\text{HF và AP, EH và BN.}$

   $\text{- Xét ΔGAM có :}$

   $\text{+) EA = EG ( GT )}$

   $\text{+) EK // AM ( GT ).}$

   $\text{⇒ KM = KG ( đường trung bình ).}$

   $\text{→ Tương tự với ΔGPB và ΔGNC ta được :}$
   $\text{+) TP = TG.}$

   $\text{+) GP = PN.}$

   $\text{→ Lại có G là trọng tâm trong ΔABC, ta suy ra :}$

   $\text{+) GC = $\dfrac{2}{3}$MC.}$

   $\text{+) MG = $\dfrac{1}{3}$MC.}$

   $\text{→ Mặt khác H là trung điểm GC.}$

   $\text{⇒ MG = HG = HC = $\dfrac{1}{3}$MC.}$

   $\text{→ Ta có :}$

   $\text{MG = GH}$

   $\text{⇒ MG + KG = GH + KG}$

   $\text{⇒ 2KG + KG = KH}$

   $\text{⇒ 3KG = KH}$

   $\text{⇒ KG = $\dfrac{KH}{3}$      ( * )}$

   $\text{→ Tương tự ta cũng có :}$

   $\text{+) GP = $\dfrac{PF}{3}$       ( ** )}$

   $\text{+) GT = $\dfrac{ET}{3}$        ( *** ).}$

   $\text{→ Từ ( * ) , ( ** ) , ( *** ) ta suy ra :}$

   $\text{G là trọng tâm ΔEFH.      ( ĐPCM )}$

   Trả lời