Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD và CE cắt nhau tại G. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đg thẳng vuôn

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD và CE cắt nhau tại G. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đg thẳng vuông góc với AC, 2 dg thẳng này cắt nhau tại H
a chứng minh tứ giác BGCH là hình bình hành
b gọi I là giao điểm của GH với BC , gọi M là trung diểm của AH , chứng minh AG=2IM
c. GM cắt AI tại N. chứng minh N là trong tâm của tam giác ABC

1 bình luận về “Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD và CE cắt nhau tại G. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đg thẳng vuôn”

  1. Giải đáp:
    a) $BD$ là đường cao của $\Delta ABC$
    $\Rightarrow BD\,\bot\,AC$ mà $G\in BD$
    $\Rightarrow BG\,\bot\,AC$ và $AC\,\bot\,HC$
    $\Rightarrow HC//BG$ (từ vuông góc đến song song).
    $CE$ là đường cao của $\Delta ABC$
    $\Rightarrow CE\,\bot\,AB$ mà $G\in CE$.
    $\Rightarrow CG\,\bot\,AB$ và $AB\,\bot\,BH$
    $\Rightarrow BH//CG$ (từ vuông góc đến song song).
    Xét tứ giác $BGCH$ ta có:
    $HC//BG$ (chứng minh trên).
    $BH//CG$ (chứng minh trên).
    $\Rightarrow BGCH$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
    b) $BGCH$ là hình bình hành có $BC\cap HG=I$
    $\Rightarrow I$ là trung điểm của hai đường chéo $BC,HG$.
    Xét $\Delta AHG$ ta có:
    $I$ là trung điểm của $HG$ (chứng minh trên).
    $M$ là trung điểm của $AH$ (giả thiết).
    $\Rightarrow MI$ là đường trung bình của $\Delta AHG$
    $\Rightarrow MI=\dfrac12AG\Rightarrow AG=2IM$.
    c) $M$ là trung điểm của $AH$ (giả thiết).
    $\Rightarrow MG$ là đường trung tuyến của $\Delta AHG$.
    $I$ là trung điểm của $HG$ (chứng minh trên).
    $\Rightarrow AI$ là đường trung tuyến của $\Delta AHG$
    Mà $MG\cap AI=N\Rightarrow N$ là trọng tâm của $\Delta AHG$.
    $\Rightarrow \dfrac{AN}{AI}=\dfrac23$ và $N\in AI$.
    Lại có $I$ là trung điểm của $BC$ (chứng minh trên).
    $\Rightarrow AI$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$
    Mà $N$ thuộc đường trung tuyến $AI$ và $\dfrac{AN}{AI}=\dfrac23$
    $\Rightarrow N$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.

    cho-tam-giac-abc-nhon-co-cac-duong-cao-bd-va-ce-cat-nhau-tai-g-qua-b-ke-duong-thang-vuong-goc-vo

    Trả lời

Viết một bình luận

Câu hỏi mới