Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các

1 bình luận về “Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các”

1. Giải đáp:

   a) Xét hai tam giác $\mathrm{\Delta }FCM$ và $\mathrm{\Delta }OMB$ có:

   $\widehat{OBM}=\widehat{MCF}$ ($CF//OB$, so le trong).

   $\widehat{BMO}=\widehat{CMF}$ (cặp góc đối đỉnh).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }FCM\backsim \mathrm{\Delta }OMB$ (góc-góc).

   Xét hai tam giác $\mathrm{\Delta }APE$ và $\mathrm{\Delta }BPO$ có:

   $\widehat{AEP}=\widehat{BOP}$ ($AE//OB$, so le trong).

   $\widehat{APE}=\widehat{BPO}$ (cặp góc đối đỉnh).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }APE\backsim \mathrm{\Delta }BPO$ (góc-góc).

   b) Ta kẻ $AD\mathrm{\perp }CP,BG\mathrm{\perp }CP$ ($DP\equiv CP,G\in CP$).

   $AK\mathrm{\perp }BN,CQ\mathrm{\perp }BN$ ($K\in BN,BN\equiv NQ$).

   $BH\mathrm{\perp }AM,IC\mathrm{\perp }AM$ ($H\in AM,AM\equiv IM$).

   Xét hai tam giác vuông $\mathrm{\Delta }BHM$ và $\mathrm{\Delta }CIM$ có:

   $\widehat{BMH}=\widehat{CMI}$ (cặp góc đối đỉnh).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }BHM\backsim \mathrm{\Delta }CIM$ (góc-góc).
   $\Rightarrow {\displaystyle \frac{MB}{MC}}={\displaystyle \frac{BH}{IC}}$ (cặp cạnh tỉ lệ tương ứng).
   Xét hai tam giác vuông $\mathrm{\Delta }ANK$ và $\mathrm{\Delta }CNQ$ có:

   $\widehat{ANK}=\widehat{CNQ}$ (cặp góc đối đỉnh).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }ANK\backsim \mathrm{\Delta }CNQ$ (góc-góc).
   $\Rightarrow {\displaystyle \frac{NC}{NA}}={\displaystyle \frac{CQ}{AK}}$ (cặp cạnh tỉ lệ tương ứng).
   Xét hai tam giác vuông $\mathrm{\Delta }ADP$ và $\mathrm{\Delta }BGP$ có:

   $\widehat{APD}=\widehat{BPG}$ (cặp góc đối đỉnh).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }ADP\backsim \mathrm{\Delta }BGP$ (góc-góc).
   $\Rightarrow {\displaystyle \frac{PA}{PB}}={\displaystyle \frac{AD}{BG}}$ (cặp cạnh tỉ lệ tương ứng).
   Ta có ${\displaystyle \frac{MB}{MC}}\cdot {\displaystyle \frac{NC}{NA}}\cdot {\displaystyle \frac{PA}{PB}}$

   $={\displaystyle \frac{BH}{IC}}\cdot {\displaystyle \frac{CQ}{AK}}\cdot {\displaystyle \frac{AD}{BG}}$
   $={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}AO.BH}{{\displaystyle \frac{1}{2}}AO.IC}}\cdot {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}BO.CQ}{{\displaystyle \frac{1}{2}}BO.AK}}\cdot {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}OC.AD}{{\displaystyle \frac{1}{2}}OC.BG}}$
   $={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }ABO}}{S_{\mathrm{\Delta }ACO}}}\cdot {\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }BCO}}{S_{\mathrm{\Delta }ABO}}}\cdot {\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }BCO}}{S_{\mathrm{\Delta }ACO}}}=1$

   Vậy ${\displaystyle \frac{MB}{MC}}\cdot {\displaystyle \frac{NC}{NA}}\cdot {\displaystyle \frac{PA}{PB}}=1$.

   

   Trả lời