Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các

1 bình luận về “Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các”

1. Giải đáp:

   a) Xét hai tam giác $\Delta FCM$ và $\Delta OMB$ có:

   $\widehat{OBM}=\widehat{MCF}$ ($CF//OB$, so le trong).

   $\widehat{BMO}=\widehat{CMF}$ (cặp góc đối đỉnh).

   $\Rightarrow\Delta FCM\backsim\Delta OMB$ (góc-góc).

   Xét hai tam giác $\Delta APE$ và $\Delta BPO$ có:

   $\widehat{AEP}=\widehat{BOP}$ ($AE//OB$, so le trong).

   $\widehat{APE}=\widehat{BPO}$ (cặp góc đối đỉnh).

   $\Rightarrow\Delta APE\backsim\Delta BPO$ (góc-góc).

   b) Ta kẻ $AD\,\bot\,CP,BG\,\bot\,CP$ ($DP\equiv CP, G\in CP$).

   $AK\,\bot\,BN,CQ\,\bot\,BN$ ($K\in BN,BN\equiv NQ$).

   $BH\,\bot\,AM,IC\,\bot\,AM$ ($H\in AM,AM\equiv IM$).

   Xét hai tam giác vuông $\Delta BHM$ và $\Delta CIM$ có:

   $\widehat{BMH}=\widehat{CMI}$ (cặp góc đối đỉnh).

   $\Rightarrow\Delta BHM\backsim\Delta CIM$ (góc-góc).
   $\Rightarrow\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{BH}{IC}$ (cặp cạnh tỉ lệ tương ứng).
   Xét hai tam giác vuông $\Delta ANK$ và $\Delta CNQ$ có:

   $\widehat{ANK}=\widehat{CNQ}$ (cặp góc đối đỉnh).

   $\Rightarrow\Delta ANK\backsim\Delta CNQ$ (góc-góc).
   $\Rightarrow\dfrac{NC}{NA}=\dfrac{CQ}{AK}$ (cặp cạnh tỉ lệ tương ứng).
   Xét hai tam giác vuông $\Delta ADP$ và $\Delta BGP$ có:

   $\widehat{APD}=\widehat{BPG}$ (cặp góc đối đỉnh).

   $\Rightarrow\Delta ADP\backsim\Delta BGP$ (góc-góc).
   $\Rightarrow\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{AD}{BG}$ (cặp cạnh tỉ lệ tương ứng).
   Ta có $\dfrac{MB}{MC}\!\cdot\!\dfrac{NC}{NA}\!\cdot\!\dfrac{PA}{PB}$

   $=\dfrac{BH}{IC}\!\cdot\!\dfrac{CQ}{AK}\!\cdot\!\dfrac{AD}{BG}$
   $=\dfrac{\dfrac12AO.BH}{\dfrac12AO.IC}\!\cdot\!\dfrac{\dfrac12BO.CQ}{\dfrac12BO.AK}\!\cdot\!\dfrac{\dfrac12OC.AD}{\dfrac12OC.BG}$
   $=\dfrac{S_{\Delta ABO}}{S_{\Delta ACO}}\!\cdot\!\dfrac{S_{\Delta BCO}}{S_{\Delta ABO}}\!\cdot\!\dfrac{S_{\Delta BCO}}{S_{\Delta ACO}}=1$

   Vậy $\dfrac{MB}{MC}\!\cdot\!\dfrac{NC}{NA}\!\cdot\!\dfrac{PA}{PB}=1$.

   

   Trả lời