Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, trung tuyến AM. Gọi D,E theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB,AC. a, Tứ giác ADHE

2 bình luận về “Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, trung tuyến AM. Gọi D,E theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB,AC. a, Tứ giác ADHE”

1. Giải đáp:

   Hình : tự vẽ

   a, Ta có ∠A=$90^{0}$ (ΔABC⊥A)

               ∠ADM=$90^{0}$ 

               ∠AEM=$90^{0}$ 

   ⇒ Tứ giavs ADHE là hình chữ nhật

   b, Ta có: ADHE là hình chữ nhật (cmt)

   ⇒ AH=DE, AH≤AM (vì cạnh góc vuông ≤ cạnh huyền)

   ⇒ DE≤AM 

   Mà DE=AM ⇒ H=M. Khi đó thì ΔABC vuông cân tại A

   c, Gọi I là giao điểm của AH và DE. T là giao điểm của AM và DE ta có:

   $E_{1}$=∠EAH (ΔIAE cân tại I)

   $A_{1}$= ∠C (ΔMAC cân tại M) 

   ⇒ $E_{1}$+ $A_{1}$ = ∠EAH+∠C=$90^{0}$ 

   ⇒ ∠AIE=$90^{0}$ ⇒ DE⊥AM

   #Lee

    

   Trả lời
2. Giải đáp : a) ADHE là hình chữ nhật

   b) DE <= AM ; $\triangle$ $ABC$ vuông cân tại A <=> DE = AM

   c) $DE$ $\bot$ $AM$

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   a) @ Gợi ý : Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác ADHE là hình chữ nhật 

   -> Theo dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông

   b) @ Xét $\triangle$ $AHM$ vuông tại $H ( AH$ là đường cao $\triangle$ $ABC )$ ta có :~

   AH <= AM ( cgv <= ch )

   Mà AH = DE ( vì $ADHE$ là hình chữ nhật $)$

   => DE <= AM

   @ Ta có : DE = AM ( $gt )$

   Mà AH = DE ( cmt )

   => AD = AM ( = DE )

   => $\triangle$ $AHM$ cân tại $A$

   => $\widehat{AHM}$ $=$ $\widehat{AMH}$

   Mà $\widehat{AHM}$ $= 90^o ($ vì $AH$ $\bot$ $BC )$

   => $\widehat{AMH}$ $= 90^o$ => $AM$ $\bot$ $BC$

   => AM là đường cao của $\triangle$ $ABC$

   Mà $AM$ là trung tuyến của $\triangle$ $ABC ( gt )$

   => $\triangle$ $ABC$ cân tại $A$

   Mà $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A$

   => $\triangle$ $ABC$ vuông cân tại $A$

   Vậy $\triangle$ $ABC$ vuông cân tại $A$ thì $AM = DE$

   c) DE nn AH = {O}

   Mà $ADHE$ là hình chữ nhật

   => OD = OA => $\triangle$ $OAD$ cân tại $O$

   => $\widehat{OAD}$ $=$ $\widehat{ODA}$ 

   Xét  $\triangle$ $ABC$ vuông tại $A$ ta có :

   AM là trung tuyến ứng với BC

   => AM = MC

   => $\triangle$ $AMC$ cân tại $M$

   => $\widehat{MAC}$ $=$ $\widehat{C}$

   Ta có : $\widehat{OEA}$ $+$ $\widehat{ODA}$ $= 90^o ( 2$ góc nhọn phụ nhau $)$

   $\widehat{B}$ $\widehat{OAD}$ $+$ $= 90^o ( 2$ góc nhọn phụ nhau $)$

   Mà $\widehat{OAD}$ $=$ $\widehat{ODA}$ $( cmt )$

   => $\widehat{OEA}$ $=$ $\widehat{B}$

   DE nn AM = {P}

   Xét $\triangle$ $PAE$ ta có $:$

   $\widehat{APE}$ $+$ $\widehat{PEA}$ $+$ $\widehat{PAE}$ $= 180^o ($ Định lý tổng $3$ góc $)$

   => $\widehat{APE}$ $= 180^o – ($ $\widehat{PEA}$ $+$ $\widehat{PAE}$ $)$

   => $\widehat{APE}$ $= 180^o – ($ $\widehat{B}$ $+$ $\widehat{C}$ $) = 180^o – 90^o = 90^o$

   => $DE$ $\bot$ $AM$

   

   Trả lời