Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), đường trung tuyến AI. Qua I vẽ IM vuông góc với AB ( M thuộc AB ), iN vuông góc

1 bình luận về “Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), đường trung tuyến AI. Qua I vẽ IM vuông góc với AB ( M thuộc AB ), iN vuông góc”

1. Giải đáp+Chứng minh

   a) Xét Δ\ ABC vuông tại A:

   Theo định lý Pitago ta có:

   BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 225

   => BC = sqrt(225) = 15

   Do ABC là Δ vuông nên AB ⊥ AC\ (1)

   Theo bài ra IM ⊥ AB\ (2) và IN ⊥ AC\ (3)

   Từ (1) ,(2) và (3) => IM // AC\ (4) và IN // AB\ (5)

   (Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau)

   AI là trung tuyến của Δ\ ABC nên I là trung điểm của BC\ (6)

   Từ (4) và (6)\ => IM là đường trung bình của Δ\ ABC

   => IM = (AC)/2 = 12/2 = 6 cm

   Từ (5) và (6) => IN là đường trung bình của Δ\ ABC

   => IN = (AB)/2 = 9/2 = 4,5 cm

   Do AI là đường trung tuyến của Δ vuông ABC nên

   AI=BI=IC = (BC)/2 = 15/2 = 7,5 (cm)

   (Trong Δ vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

   Từ (1), (2) và (3) => AMIN là hình chữ nhật

   => MN = AI = 7,5 (cm)

   —————————————————————————————————-

   b) Ở trên ta đã chứng minh IN là đường trung bình của Δ\ ABC

   => IN = MB\ \ (7)

   Ta cũng đã chứng minh AMIN là hình chữ nhật

   => IN // AM hay IN // MB\ \ (8)

   Từ (7) và (8) =>  NMBI là hình bình hành

   (Tứ giác có một cặp cạnh đối diện vừa song song và vừa bằng nhau là hình bình hành)

   —————————————————————————————————-

   c) Do M và N là trung điểm của AB và AC (chứng minh ở câu a)

   => MN là đường trung bình của Δ\ ABC

   => MN // BC

   => BMNC là hình thang

   Để BMNC là hình thang cân

   => \hat{B} = \hat{C}

   => ABC là Δ cân

   Theo đề bài tam giác ABC vuông tại A

   Vậy để tứ giác BMNC là hình thang cân thì tam giác ABC vuông cân tại A

   

   Trả lời