Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Chứng minh rằng: ABC HBA. Từ đó suy ra AB2 = BH.BC.
b) Chứng minh rằng: HAB HCA và AH2 = BH.HC.
c) Trên tia HA lấy các điểm D, E sao cho D là trung điểm của AH, A là trung điểm của HE. Chứng minh rằng D là trực tâm của tam giác BCE.
a) Để chứng minh rằng ABC HBA, ta cần chứng minh rằng góc ABC = góc HBA và góc BAC = góc ABH. Ta có:
– Góc ABC = 90 độ (vì tam giác ABC vuông tại A)
– Góc HBA = 90 độ (vì tam giác HBA vuông tại A)
– Góc BAC = góc ABH (vì AB = AH)
Vậy ta có thể kết luận rằng ABC HBA.
Để suy ra AB2 = BH.BC, ta sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABC và đường cao AH:
– AB^2 + BC^2 = AC^2
– AH là đường cao của tam giác ABC nên AB.AH = 2S(ABC) (với S(ABC) là diện tích tam giác ABC)
– BH là đường cao của tam giác HBA nên BH.AH = 2S(HBA) (với S(HBA) là diện tích tam giác HBA)
Từ đó suy ra:
– AB^2 + BC^2 = AC^2
– AB.AH = 2S(ABC)
– BH.AH = 2S(HBA)
Tương đương với:
– AB^2 + BC^2 = AC^2
– AB.AH = BC.AH
– BH.AH = AB.HB
Từ hai phương trình cuối cùng suy ra:
– AB^2 = BH.BC
b) Để chứng minh rằng HAB HCA và AH^2 = BH.HC, ta sử dụng các kiến thức về đường cao của tam giác vuông và tỉ số đồng dạng của các tam giác tương tự. Ta có:
– Góc HAB = góc HCA (vì HA song song với CE)
– Góc AHB = góc AHC (vì hai góc này bù nhau)
Vậy ta có thể kết luận rằng HAB HCA.
Ta có thể tính được AH^2 bằng cách sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác AHB và đường cao AH:
– AH^2 + HB^2 = AB^2
Tương đương với:
– AH^2 + HB.HC = AB.BC (vì BH.BC = AB^2 từ phần a))
Thay HB.HC bằng AB.AH/BC từ phương trình cuối cùng của phần a)), ta được:
– AH^2 + AB.AH/BC = AB.BC/BC
Tương đương với:
– AH^2 + AB.AH/BC = AB
Tương đương với:
– AH^2 = AB – AB.AH/BC
Tương đương với:
– AH^2 = AB(1 – AH/BC)
Từ phần a)), ta biết được rằng AB^2/BH.BC=1. Từ đó suy ra:
– BC/BH=AB/sqrt(AB^2+BH