Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ tia phân giác góc ABC cắt AC tại D. a, Biết BC = 5cm, AB = 3cm. Tính AC và AD. b, Qua D kẻ D

1 bình luận về “Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ tia phân giác góc ABC cắt AC tại D. a, Biết BC = 5cm, AB = 3cm. Tính AC và AD. b, Qua D kẻ D”

1. Giải đáp:

   a) Áp dụng định lý Pythagoras cho $\mathrm{\Delta }ABC$ có:

   $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

   $\Rightarrow A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2$

   $\Rightarrow AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}$

   $\Rightarrow AC=\sqrt{5^2-3^2}$

   $\Rightarrow AC=\sqrt{16}=4(cm)$.

   Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ có đường phân giác $BD$

   Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:
   ${\displaystyle \frac{AD}{AB}}={\displaystyle \frac{CD}{BC}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{AD}{AB}}={\displaystyle \frac{AC-AD}{BC}}$
   $\Rightarrow AD.BC=AB.(AC-AD)$

   $\Rightarrow AD.BC-AB.AC+AB.AD=0$

   $\Rightarrow AD(AB+BC)=AB.AC$
   $\Rightarrow AD={\displaystyle \frac{AB.AC}{AB+BC}}$
   $\Rightarrow AD={\displaystyle \frac{3.4}{3+5}}={\displaystyle \frac{3}{2}}(cm)$
   Vậy $AC=4(cm),AD={\displaystyle \frac{3}{2}}(cm)$.
   b) $E$ là hình chiếu của $A$ trên $BC\Rightarrow AE\mathrm{\perp }BC$.

   Xét tam giác vuông $\mathrm{\Delta }ABC$ và $\mathrm{\Delta }HDC$ ta có:

   $\widehat{ACB}=\widehat{HCD}$ ($D\in AC,H\in BC$).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC\backsim \mathrm{\Delta }HDC$ (góc-góc).
   $\Rightarrow {\displaystyle \frac{AC}{HC}}={\displaystyle \frac{BC}{CD}}$ (các cặp tỉ lệ tương ứng).
   $\Rightarrow HC.BC=AC.CD$ (tính chất nhân chéo).

   c) Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ có đường phân giác $BD$

   Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:
   ${\displaystyle \frac{BC}{AB}}={\displaystyle \frac{CD}{AD}}$ (các cặp tỉ lệ tương ứng).
   Ta có $AE\mathrm{\perp }BC$ (chứng minh trên) mà $DH\mathrm{\perp }BC$

   $\Rightarrow AE//DH$ (từ vuông góc đến song song).

   Xét $\mathrm{\Delta }ACE$ có $AE//DH$ ($D\in AC,H\in CE$).

   Áp dụng định lý Thales cho $\mathrm{\Delta }ACE$ có:
   $\Rightarrow {\displaystyle \frac{HC}{HE}}={\displaystyle \frac{CD}{AD}}$ (các cặp tỉ lệ tương ứng).
   Mà ${\displaystyle \frac{BC}{AB}}={\displaystyle \frac{CD}{AD}}$ nên ${\displaystyle \frac{BC}{AB}}={\displaystyle \frac{HC}{HE}}$.
   d) Xét tam giác vuông $\mathrm{\Delta }ABD$ và $\mathrm{\Delta }BDH$ có:

   $\widehat{ABD}=\widehat{HBD}$ ($BD$ là tia phân giác $\widehat{ABC}$).

   $BD$ là cạnh chung.

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABD=\mathrm{\Delta }BDH$ (cạnh huyền-góc nhọn).

   $\Rightarrow AB=BH$ (hai cạnh tương ứng).

   $\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABH$ cân tại $B$ (hai cạnh bên bằng nhau).

   $\mathrm{\Delta }ABH$ cân tại $B$ có đường phân giác $BD$

   $\Rightarrow BD$ cũng là đường trung tuyến của $\mathrm{\Delta }ABH$

   $\Rightarrow BO$ cũng là đường trung tuyến của $\mathrm{\Delta }ABH$

   $\Rightarrow O$ là trung điểm của $AH\Rightarrow OA=OH$.

   Đường song song $AH$ cắt $CO$ tại $M\Rightarrow OH//BM$.

   Xét $\mathrm{\Delta }BCM$ có $OH//BM$ ($O\in MC,H\in BC$).

   Theo hệ quả của định lý Thales ta có:
   ${\displaystyle \frac{OC}{MC}}={\displaystyle \frac{OH}{MB}}$ (các cặp tỉ lệ tương ứng).
   Đường song song $AH$ cắt $AC$ tại $N\Rightarrow OA//MN$.

   Xét $\mathrm{\Delta }MNC$ có $OA//MN$ ($A\in NC,O\in MC$).

   Theo hệ quả của định lý Thales ta có:
   ${\displaystyle \frac{OM}{MC}}={\displaystyle \frac{OA}{MN}}$ (các cặp tỉ lệ tương ứng).
   $\Rightarrow {\displaystyle \frac{OH}{MB}}={\displaystyle \frac{OA}{MN}}$ mà $OA=OH$
   $\Rightarrow MB=MN\Rightarrow M$ là trung điểm của $BN$.

   

   Trả lời