Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm D bất kì trên cạnh AC kẻ các đường CE vuông góc với DB tại E. CMR: BE.AC = AB.EC +

1 bình luận về “Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm D bất kì trên cạnh AC kẻ các đường CE vuông góc với DB tại E. CMR: BE.AC = AB.EC +”

1. 1. Để chứng minh BE.AC = AB.EC + AE.BC, ta sẽ sử dụng định lí Euclid thứ 2:
      “Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.”
      Áp dụng định lí này vào tam giác ABE, ta có:
      AB^2 + BE^2 = AE^2
      Tương tự, áp dụng định lí này vào tam giác CED, ta có:
      EC^2 + ED^2 = CD^2
      Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
      AC^2 = AB^2 + BC^2
      Do đó:
      BC^2 = AC^2 – AB^2
      = (CD^2 – EC^2) – AB^2
      = CD^2 – (EC^2 + AB^2)
      = CD^2 – AE^2
      Vậy:
      BE^2 = AE^2 + AB^2 – 2.AB.AE.cos∠AEB
      = AE^2 + AB^2 – 2.AB.AE.sin∠CED
      = AE^2 + AB^2 – 2.AB.AE.(EC/ED)
      = AE^2 + AB^2 – 2.AB.EC.(AE/ED)
      = AE^2 + AB^2 – 2.AB.EC.(AC – AD)/ED
      = AE^2 + AB^2 – 2.AB.EC.AC/ED + 2.AB.EC.AD/ED
      = AE^2 + AB^2 – 2.AB.EC.AC/ED + 2.AE.BC.EC/ED
      = AE^2 + AB^2 – 2.AB.EC.AC/ED + 2.AE.BC.(CD – ED)/ED
      = AE^2 + AB^2 – 2.AB.EC.AC/ED + 2.AE.BC.CD/ED – 2.AE.BC
      = AE^2 + AB^2 – 2.AB.EC.AC/ED + 2.AE.BC.CD/ED – 2.AE.BC + 2.AE.BC – 2.AE.BC.ED/ED
      = AE^2 + AB^2 – 2.AB.EC.AC/ED + 2.AE.BC.CD/ED – 2.AE.BC + 2.AE.BC – 2.AE.BC
      = AC.(AE + EC) – BE.AC/ED
      = AC^2 – BD^2 – BE.AC/ED
      = BC^2 – BE.AC/ED
      = BC^2 – (AB.EC + AE.BC)/ED
      = BC^2 – AB.EC/ED – AE.BC/ED
      = AC.AB/ED – AB.EC/ED – AE.BC/ED
      = AB.(AC – EC – AE)/ED
      = AB.CD/ED
      Vậy:
      BE.AC = (AB^2 + BE^2) – AB^2
      = AE^2 + BE^2
      = AE^2 + AB^2 – 2.AB.AE.sin∠CED
      = AE^2 + AB^2 – 2.AB.EC.(AE/ED)
      = AE^2 + AB^2 – 2.AB.EC.AC/ED + 2.AE.BC.EC/ED
      = AE^2 + AB^2 – 2.AB.EC

   Trả lời