Cho x,y,z R. Chứng minh $x^{2}$ + $y^{2}$ +$z^{2}$ $\geq$ xy+yz+xz

2 bình luận về “Cho x,y,z R. Chứng minh $x^{2}$ + $y^{2}$ +$z^{2}$ $\geq$ xy+yz+xz”

1. Có 2 cách để giải bài này:

   -Cách 1: Xét hiệu(Biến đổi tương đương)

   $x^2+y^2+z^2$$\geq$ $xy+yz+xz$

   ⇔$2x^2+2y^2+2z^2$$\geq$ $2xy+2yz+2xz$

   ⇔$(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2xz+x^2)$$\geq$ $0$

   ⇔$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$$\geq$ $0$

   Bất đẳng thức cuối luôn đúng vậy bất đẳng thức đầu luôn đúng

   Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$

   -Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $x^2,y^2$ ta có:

   $x^2+y^2$$\geq$ $2\sqrt[]{x^2y^2}$

   ⇔$x^2+y^2$$\geq$ $2xy$$(1)$Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y$

   Tương tự ta có:

   $y^2+z^2$$\geq$ $2yz$$(2)$ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $y=z$

   $z^2+x^2$$\geq$ $2zx(3)$ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $z=x$

   Cộng 3 vế $(1),(2),(3)$ ta có:

   $2x^2+2y^2+2z^2$$\geq$$2xy+2yz+2zx$

   ⇔$x^2+y^2+z^2$$\geq$ $xy+yz+zx$ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$(đpcm)

    

   Trả lời
2. Lời giải và giải thích chi tiết:

   Theo BDDT cauchy ta có:
   x^2+y^2>=2sqrt{x^2y^2}=2xy
   Tương tự:
   y^2+z^2>=2yz
   x^2+z^2>=2xz
   ->2.(x^2+y^2+z^2)>=2.(xy+yz+xz)
   ->x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz
   Dấu = xảy ra khi x=y=z

   Trả lời