cho x y z thỏa mãn x + y + z = 3/2 Chứng minh rằng x² + y² + z² lớn hơn hoặc bằng 3/4 trình bày rõ ràng hộ mik

2 bình luận về “cho x y z thỏa mãn x + y + z = 3/2 Chứng minh rằng x² + y² + z² lớn hơn hoặc bằng 3/4 trình bày rõ ràng hộ mik”

1. Ta có:

   (x – y)^2 + (y – z)^2 + (x – z)^2 >= 0 AA x,y,z

   => x^2 – 2xy + y^2 + y^2 – 2yz + z^2 + x^2 – 2xz + z^2 >= 0

   => 2(x^2 + y^2 + z^2) >= 2(xy + yz + xz)

   => 3(x^2 + y^2 + z^2) >= x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + xz)

   => 3(x^2 + y^2 + z^2) >= (x + y + z)^2

   => x^2 + y^2 + z^2 >= (x + y + z)^2/3 = 3/4

   Dấu “=” xảy ra khi: {(x = y = z),(x + y + z = 3/2):} <=> x = y = z = 1/2.

    

   Trả lời
2. Ta có:

   (x + y + z)² = (3/2)²

   x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) = 9/4

   Vì xy + yz + zx ≤ x² + y² + z², nên:

   3(x² + y² + z²) ≤ (x + y + z)² = 9/4

   Điều này suy ra:

   x² + y² + z² ≥ 3/4 (dpcm)

   Trả lời