chứng minh $n^{2}$ + n + 1 không chia hết cho 9 với mọi n N

2 bình luận về “chứng minh $n^{2}$ + n + 1 không chia hết cho 9 với mọi n N”

1. n^2 +n+1

   =n^2 +n-2+3

   =(n-1)(n+2)+3 (1)

   Xét (n+2)-(n-1)=3\vdots 3

   =>n-1 và n+2 cùng số dư khi chia cho 3

   =>(n-1)(n+2)≡0;1(mod 3)

   =>(n-1)(n+2)+3≡3;4≡0;1(mod 3)

   TH1 : (n-1)(n+2)+3≡3(mod 3)

   Xét n^2 <n^2 +n+1<(n+1)^2 =>n^2 +n+1 không là scp

   =>(n-1)(n+2)+3 không là số chính phương =>(n-1)(n+2)+3 không chia hết cho 9

   TH2 : (n-1)(n+2)+3≡1(mod 3)

   =>(n-1)(n+2)+3 không chiab hết cho 9

   Ta có dpcm 

    

   Trả lời
2. Giả sử : n^2+n+1 \vdots 9 với mọi n \in N

   => n^2+n+1 \vdots 3

   <=> 4n^2+4n+4 \vdots 3

   <=> (4n^2+4n+1)+3 \vdots 3

   <=> (2n+1)^2+3 \vdots 3

   <=> (2n+1)^2 \vdots 3

   <=> (2n+1)^2 \vdots 9

   => (4n^2+4n+4)-(4n^2+4n+1) \vdots 9

   <=> 3 \vdots 9 ( Vô lí , loại )

   Vậy giả sử là sai => n^2+n+1 không chia hết cho 9 với mọi n \in N

   Trả lời