Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c thì: `1/(2a + b + c) + 1/(a + 2b + c) + 1/(a + b + 2c)` <= `1/4(1/a + 1/b + 1/

2 bình luận về “Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c thì: `1/(2a + b + c) + 1/(a + 2b + c) + 1/(a + b + 2c)` <= `1/4(1/a + 1/b + 1/”

1. 1/(2a+b+c)+1/(a+2b+c)+1/(a+b+2c)

   =1/(a+a+b+c)+1/(a+b+b+c)+1/(a+b+c+c)

   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schwarz

   1/(a+a+b+c)le1/16(2/a+1/b+1/c)

   1/(a+b+b+c)le1/16(1/a+2/b+1/c)

   1/(a+b+c+c)le1/16(1/a+1/b+2/c)

   =>1/(2a+b+c)+1/(a+2b+c)+1/(a+b+2c)le1/16(4/a+4/b+4/c)=1/4(1/a+1/b+1/c)(đpcm)

   Dấu = xảy ra khi a=b=c

   Trả lời
2. 1/(2a + b + c) = 1/16 . (1 + 1+ 1 + 1)^2/(a + a + b + c) <= 1/16.(1/a + 1/a+ 1/b + 1/c) (CBS)

   Tương tự:

   1/(a + 2b + c) <= 1/16.( 1/a + 2/b + 1/c)

   1/(a+ b + 2c) <= 1/16. (1/a + 1/b + 2/c)

   Cộng vế – vế ta được:

   1/(2a + b + c) + 1/(a + 2b + c) + 1/(a+ b + 2c) <= 1/16. (4/a + 4/b + 4/c) = 1/4(1/a+ 1/b + 1/c)

   Dấu “=” xảy ra khi: a = b = c > 0

   ___________________

   – Bất đẳng thức CBS(cộng mẫu) sử dụng:

   Tổng quát: 

   Với a_1, a_2, a_3, …, a_n và b_1, b_2, …, b_2 > 0 thì ta có:

   a_1/b_1 + a_2/b_2 + … + a_n/b_n >= (a_1 + a_2 + … + a_n)^2/(b_1 + b_2 + … + b_n)

   – Dạng ta dùng trong bài này là dạng ngược:

   (1 + 1 + 1 + 1)^2/(a + a + b + c) <= 1/a + 1/a + 1/b + 1/c = 2/a + 1/b + 1/c.

    

   Trả lời