Chứng minh rằng với mọi số nguyên `n` thì: `\bb \text{a)}` `n^{3} – n` chia hết cho `3“\color{green}{\bb \text{.}}` `\bb \te

2 bình luận về “Chứng minh rằng với mọi số nguyên `n` thì: `\bb \text{a)}` `n^{3} – n` chia hết cho `3“\color{green}{\bb \text{.}}` `\bb \te”

1. $\text{→ Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:}$

   $\text{a)}$

   $\text{→ Ta có :}$

   $\text{n³ – n = n( n² – 1 ) = ( n – 1 )n( n + 1 )}$

   $\text{→ Ta dễ dàng thấy biểu thức trên là tích của}$

   $\text{3 số nguyên liên tiếp. ⇒ Chia hết cho 3.    ( ĐPCM ).}$

   $\text{b)}$

   $\text{→ Ta có :}$

   $\text{$n^5$ – n = n( $n^4$ – 1 ) = n( n² + 1 )( n ² – 1 )}$

   $\text{= n( n² + 1 )( n + 1 )( n – 1 )}$

   $\text{= n( n + 1 )( n – 1 )[ ( n² – 4 ) + 5 ]}$

   $\text{= 5n( n + 1 )( n – 1 ) + n( n + 1 )( n – 1 )( n + 2 )( n – 2 )}$

   $\text{→ Ta dễ dàng thấy :}$

   $\text{+) 5n( n + 1 )( n – 1 ) $\vdots$ 5.}$

   $\text{+) n( n + 1 )( n – 1 )( n + 2 )( n – 2 ) $\vdots$ 5 ( tích 5 số nguyên}$

   $\text{liên tiếp ).}$

   $\text{⇒ $n^5$ – n $\vdots$ 5.     ( ĐPCM ).}$

   Trả lời
2. Tham khảo

    a) Đặt A= n^3 – n = n(n^2 -1)  = n(n+1)(n-1)  = (n-1)n(n+1)

   Vì n-1; n ; n+1 là 3 số nguyên liên tiếp

   => (n-1)n(n+1) vdots 3

   => A vdots 3

   b) Đặt B=n^5 – n

   = n(n^4 -1) = n(n^2 + 1 ) ( n^2  – 1)

   = n(n^2 + 1)(n+1)(n-1)

   =n(n^2 – 4 + 5) (n+1)(n-1)

   =(n-1)n(n+1)(n+2)(n-2) + 5n(n+1)(n-1)

   = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5n(n+1)(n-1)

   Vì 5 vdots 5 => 5n(n+1)(n-1) vdots 5 (1)

   Vì n-2;n-1;n;n+1;n+2 là 5 số ZZ liên tiếp

   => (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) vdots 5 (2)

   Từ(1) và (2) suy ra B vdots 5

   Trả lời