Chứng minh rằng với mọi số nguyên `n` thì: `\bb \text{a)}` `n^{3} – n` chia hết cho `3“\color{green}{\bb \text{.}}` `\bb \te

Chứng minh rằng với mọi số nguyên `n` thì:
`\bb \text{a)}` `n^{3} – n` chia hết cho `3“\color{green}{\bb \text{.}}`
`\bb \text{b)}` `n^{5} – n` chia hết cho `5“\color{green}{\bb \text{.}}`

2 bình luận về “Chứng minh rằng với mọi số nguyên `n` thì: `\bb \text{a)}` `n^{3} – n` chia hết cho `3“\color{green}{\bb \text{.}}` `\bb \te”

  1. → Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:
    a)
    → Ta có :
    n³ – n = n( n² – 1 ) = ( n – 1 )n( n + 1 )
    → Ta dễ dàng thấy biểu thức trên là tích của
    3 số nguyên liên tiếp. ⇒ Chia hết cho 3.    ( ĐPCM ).
    b)
    → Ta có :
    n5 – n = n( n4 – 1 ) = n( n² + 1 )( n ² – 1 )
    = n( n² + 1 )( n + 1 )( n – 1 )
    = n( n + 1 )( n – 1 )[ ( n² – 4 ) + 5 ]
    = 5n( n + 1 )( n – 1 ) + n( n + 1 )( n – 1 )( n + 2 )( n – 2 )
    → Ta dễ dàng thấy :
    +) 5n( n + 1 )( n – 1 )  5.
    +) n( n + 1 )( n – 1 )( n + 2 )( n – 2 )  5 ( tích 5 số nguyên
    liên tiếp ).
    ⇒ n5 – n  5.     ( ĐPCM ).

    Trả lời
  2. Tham khảo
     a) Đặt A= n^3 – n = n(n^2 -1)  = n(n+1)(n-1)  = (n-1)n(n+1)
    Vì n-1; n ; n+1 là 3 số nguyên liên tiếp
    => (n-1)n(n+1) vdots 3
    => A vdots 3
    b) Đặt B=n^5 – n
    = n(n^4 -1) = n(n^2 + 1 ) ( n^2  – 1)
    = n(n^2 + 1)(n+1)(n-1)
    =n(n^2 – 4 + 5) (n+1)(n-1)
    =(n-1)n(n+1)(n+2)(n-2) + 5n(n+1)(n-1)
    = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5n(n+1)(n-1)
    Vì 5 vdots 5 => 5n(n+1)(n-1) vdots 5 (1)
    Vì n-2;n-1;n;n+1;n+2 là 5 số ZZ liên tiếp
    => (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) vdots 5 (2)
    Từ(1) và (2) suy ra B vdots 5

    Trả lời

Viết một bình luận

Câu hỏi mới