Chứng minh với mọi số nguyên n thì b,(2n-1)^3 – (2n-10chia hết cho 8

2 bình luận về “Chứng minh với mọi số nguyên n thì b,(2n-1)^3 – (2n-10chia hết cho 8”

1. Lời giải và giải thích chi tiết:

    $b)$ $(2n-1{)}^3–(2n-1)$

   $=(2n{)}^3–3.(2n{)}^2.1+3.2n.1^2–1^3–2n+1$ (khai triển hằng đẳng thức).

   $=8n^3–12n^2+6n–1–2n+1$ (rút gọn).

   $=8n^3–12n^2+4n$ (rút gọn).

   Mà $8n^3$ chia hết $2$

   $12n^2$ chia hết $2$

   $4n$ chia hết $2$ $(1)$

   Lại có: $8n^3$ chia hết $4$

   $12n^2$ chia hết $4$

   $4n$ chia hết $4$ $(2)$

   $(1)(2)$ ⇒ $(2n-1{)}^3–(2n-1)$ chia hết cho $8$. (với mọi n ∈ Z)

   Trả lời
2. Giải đáp:

   $(2n-1{)}^3–(2n-1)$

   $=(2n-1)[(2n-1{)}^2-1]$

   $=(2n-1)(2n-1+1)(2n-1-1)$

   $=2n(2n-1)(2n-2)$

   $=4n(2n-1)(n-1)$

   Ta có:

   $n(n-1)⋮2$ (tích $2$ số nguyên liên tiếp)

   $\Rightarrow 4n(n-1)⋮2.4=8$

   $\Rightarrow 4n(n-1)(2n-1)⋮8$

   Trả lời