CMR: Số có dạng `n^6 – n^4 + 2n^3 + 2n^2` với `n \in NN` và `N > 1` không phải là số chính phương. Triệu hồi thiên tài.

2 bình luận về “CMR: Số có dạng `n^6 – n^4 + 2n^3 + 2n^2` với `n \in NN` và `N > 1` không phải là số chính phương. Triệu hồi thiên tài.”

1. $$\begin{gathered} n^6-n^4+2n^3+2n^2 \\ =n^4(n-1)(n+1)+2n^2(n+1) \\ =(n+1)(n^5-n^4+2n^2) \\ =n^2(n+1)(n^3-n^2+2) \\ =n^2(n+1)(n^3+n^2-2n^2-2n+2n+2) \\ =n^2(n+1)[n^2(n+1)-2n(n+1)+2(n+1)] \\ =n^2(n+1{)}^2(n^2-2n+2) \end{gathered}$$

   Đặt $A=n^6-n^4+2n^3+2n^2$

   Phản chứng giả sử $A$ là số chính phương.

   Do $n\in N,n>1\Rightarrow n>0,n+1>0$ nên để $A$ là số chính phương thì:

   $n^2-2n+2$ là số chính phương.

   $\bullet$ $n^2-2n+2=(n-1{)}^2+1>(n-1{)}^2$

   $\bullet$ $n^2-2n+2<n^2-2.1+2=n^2$

   $\Rightarrow (n-1{)}^2<n^2-2n+2<n^2\Rightarrow n^2-2n+2$ ko là số chính phương.

   Do đó giả sử sai hay ta có đpcm.

    

   Trả lời
2. → Ta có :

   $n^6$ – $n^4$ + 2n³ + 2n²

   = n²( $n^4$ – n² + 2n + 2 )

   = n²[ n²( n + 1 )( n – 1 ) + 2(n + 1 ) ]

   = n²( n + 1 )( n³ – n² + 2 )

   = n²( n + 1 )( n³ + n² – 2n² + 2 )

   = n²( n + 1 )[ n²( n + 1 ) – 2( n + 1 )( n – 1 ) ]

   = n²( n + 1 )²( n² – 2n + 2 )

   = n²( n + 1 )²[ ( n – 1 )² + 1 ]

   → Ta có :

   n² là số chính phương          ( $\mathrm{\forall }$ n )

   ( n + 1 )² là số chính phương    ( $\mathrm{\forall }$ n )

   ( n – 1 )² là số chính phương  ⇒  ( n – 1 )² + 1  không là số chính phương   ( $\mathrm{\forall }$ n )

   mà   Số chính phương  x  số không phải chính phương  =  số không phải chính phương 

   ⇒ n²( n + 1 )²[ ( n – 1 )² + 1 ]  không phải là số chính phương  ( $\mathrm{\forall }$ n , n > 1 )

   5 sao nha

   Trả lời