CMR với `x , y , z 0` `a,` `x4 y4 = x3 y3` với `x y = 2` `b,` `x2 y2 z2 = 1/3` với `x y z = 1`

Question

CMR với `x , y , z > 0` `a,` `x^4 + y^4 >= x^3 + y^3` với `x + y = 2` `b,` `x^2 + y^2 + z^2 >= 1/3` với `x + y + z = 1`

hiennhi98 · Answer

a, Ta có BĐT sau: x^4 >= x^3 + x - 1 (**) Thật vậy: (**) <=> x^3(x - 1) - (x - 1) >= 0 <=> (x - 1)(x^3 - 1) >= 0 <=> (x - 1)^2(x^2 + x + 1) >= 0 (luôn đúng) Tương tự: y^4 >= y^3 + y - 1 => x^4 + y^4 >= x^3 + y^3 + x + y - 2 = x^3 + y^3 Vậy bđt đúng và dấu '=' xảy ra khi: x = y = 1 b, C1: Ta có bđt sau: x^2 >= 2/3x - 1/9 (** **) Thật vậy: (** **) <=> x^2 - 2/3x + 1/9 >= 0 <=> (x - 1/3)^2 >= 0 (luôn đúng) Tương tự: y^2 >= 2/3y - 1/9 z^2 >= 2/3z - 1/9 => x^2 + y^2 + z^2 >= 2/3 .1 - 3. 1/9 = 1/3 Dấu '=' xảy ra khi: x = y = z = 1/3 C2: Đặt x = 1/3 + a; y = 1/3 + b ; z = 1/3 + c => x + y + z = 1 + a + b + c = 1 => a + b + c = 0 x^2 + y^2 + z^2 = (1/3+ a)^2 + (1/3 + b)^2+ (1/3 + c)^2 = 3. 1/9 + 2/3(a + b + c) + (a^2 + b^2 + c^2) = a^2 + b^2 + c^2 + 1/3 >= 1/3 Vậy bđt đúng và dấu '=' xảy ra khi: a = b = c = 0 <=> x = y = z = 1/3.

aivilanlan · Answer

a) Không mất tổng quát, giả sử x>=y Áp dụng BĐT Trê-bư-sép: x^4+y^4 =x.x^3+y.y^3 >=1/2 . (x+y)(x^3+y^3) =1/2 .2(x^3+y^3) =x^3+y^3 Dấu '=' <=>x=y=1 b) Áp dụng BĐT CBS (Bunhiacopxki dạng phân thức): x^2+y^2+z^2 =x^2/1+y^2/1+z^2/1 >=(x+y+z)^2/3 =1/3 Dấu '=' xảy ra <=>x=y=z=1/3

Viết một bình luận Hủy