Giải phương trình: `x^{3} – 3x(x^{2} – 2)^{2} + 2(x^{2} – 2)^{3} = 0`

2 bình luận về “Giải phương trình: `x^{3} – 3x(x^{2} – 2)^{2} + 2(x^{2} – 2)^{3} = 0`”

1. $\text{→ Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:}$

   $\text{→ Ta có :}$

   $\text{x³ – 3x( x² – 2 )² + 2( x² – 2 )³ = 0      ( 3 )}$

   $\text{⇔ x³ – 3x( $x^4$ – 4x² + 4 ) + 2( $x^6$ – $6x^4$ + 12x² – 8 ) = 0}$

   $\text{⇔ x³ – $3x^5$ + 12x³ – 12x + $2x^6$ – $12x^4$ + 24x² – 16 = 0}$

   $\text{⇔ $2x^6$ – $3x^5$ – $12x^4$ + 13x³ + 24x² – 12x – 16 = 0}$

   $\text{⇔ $2x^6$ + $2x^5$ – $5x^5$ – $5x^4$ – $7x^4$ – 7x³ + 20x³ +}$

   $\text{20x² + 4x² + 4x – 16x – 16 = 0}$

   $\text{⇔ $2x^5$( x + 1 ) – $5x^4$( x + 1 ) – 7x³( x + 1 ) + 20x²( x + 1 ) +}$

   $\text{4x( x + 1 ) – 16( x + 1 ) = 0}$

   $\text{⇔ ( x + 1 )( $2x^5$ – $5x^4$ – 7x³ + 20x² + 4x – 16 ) = 0}$

   $\text{⇔ ( x + 1 )( $2x^5$ – $4x^4$ – $x^4$ + 2x³ – 9x³ + 18x² + 2x² – 4x + 8x – 16 ) = 0}$

   $\text{⇔ ( x + 1 )[ $2x^4$( x – 2 ) – x³( x – 2 ) – 9x²( x – 2 ) + 2x( x – 2 ) + 8( x – 2 ) ] = 0}$

   $\text{⇔ ( x + 1 )( x – 2 )( $2x^4$ – x³ – 9x² + 2x + 8 ) = 0        ( 1 )}$

   $\text{→ Xét $2x^4$ – x³ – 9x² + 2x + 8 = 0}$

   $\text{⇔ $2x^4$ – 4x³ + 3x³ – 6x² – 3x² + 6x – 4x + 8 = 0}$

   $\text{⇔ 2x³( x – 2 ) + 3x²( x – 2 ) – 3x( x – 2 ) – 4( x – 2 ) = 0}$

   $\text{⇔ ( x – 2 )( 2x³ + 3x² – 3x – 4 ) = 0}$

   $\text{⇔ ( x – 2 )( 2x³ + 2x² + x² + x – 4x – 4 ) = 0}$

   $\text{⇔ ( x – 2 )[ 2x²( x + 1 ) + x( x + 1 ) – 4( x + 1 ) ] = 0}$

   $\text{⇔ ( x – 2 )( x + 1 )( 2x² + x – 4 ) = 0                       ( 2 )}$

   $\text{→ Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta suy ra :}$

   $\text{( 3 ) ⇔ ( x – 2 )²( x + 1 )²( 2x² + x – 4 ) = 0}$

   $\text{→ Trước hết ta thấy phương trình có nghiệm là 2 và -1.       ( 5 )}$

   $\text{→Xét 2x² + x – 4 = 0}$

   $\text{⇔ x² + $\dfrac{1}{2}$x – 2 = 0}$

   $\text{⇔ x² + $\dfrac{1}{2}$x + $\dfrac{1}{16}$ – $\dfrac{33}{16}$ = 0}$

   $\text{⇔ ( x + $\dfrac{1}{4}$ )² – $\dfrac{33}{16}$ = 0}$

   $\text{⇔ ( x + $\dfrac{1 + \sqrt{33}}{4}$ )( x + $\dfrac{1 – \sqrt{33}}{4}$ ) = 0}$

   $\text{⇔ $\left[\begin{matrix}x =-\dfrac{1 + \sqrt{33}}{4}\\ x = – \dfrac{1 – \sqrt{33}}{4}\end{matrix}\right.$  ( 4 )}$

   $\text{→ Từ ( 4 ) và ( 5 ) ta suy ra :}$

   $\text{S = { 2 ; -1 ; – $\dfrac{1 + \sqrt{33}}{4}$ ; – $\dfrac{1 – \sqrt{33}}{4}$ }.}$

   Trả lời
2. x^3 – 3x(x^2 – 2)^2 + 2(x^2 – 2)^3 = 0       (1)

   Đặt x^2 – 2 = a

   => (1) <=> x^3 – 3xa^2 + 2a^3 = 0

   <=> x^3 – xa^2 – 2xa^2 + 2a^3 = 0

   <=> x(x^2 – a^2) – 2a^2 (x – a) = 0

   <=> x(x – a)(x + a) – 2a^2 (x – a) = 0

   <=> (x – a)[x(x + a) – 2a^2] = 0

   <=> (x – a)(x^2 + xa – 2a^2) = 0

   <=> (x – a)(x^2 + 2xa – xa – 2a^2) = 0

   <=> (x – a)[x(x + 2a) – a(x + 2a)] = 0

   <=> (x – a)(x + 2a)(x – a) = 0

   <=> (x – a)^2 (x + 2a) = 0

   <=> x – a = 0 hoặc x + 2a = 0

   <=> x – x^2 + 2 = 0 hoặc x + 2(x^2 – 2) = 0

   <=> -(x^2 – x – 2) = 0 hoặc x + 2x^2 – 4 = 0

   <=> x^2 – x – 2 = 0 hoặc 2(x^2 + 1/2x – 2) = 0

   <=> x^2 + x – 2x – 2 = 0 hoặc x^2 + 1/2x  + 1/(16) – (33)/(16) = 0

   <=> x(x + 1) – 2(x + 1)= 0 hoặc (x + 1/4)^2 – (33)/(16) = 0

   <=> (x – 2)(x + 1) = 0 hoặc (x + 1/4 – (\sqrt{33})/4)(x + 1/4 + (\sqrt{33})/4) = 0

   <=> x – 2= 0 hoặc x + 1 = 0 hoặc x + (1 – \sqrt{33})/4 = 0 hoặc x + (1 + sqrt{33})/4 = 0

   <=> x =2 hoặc x =- 1 hoặc x = (-1 + \sqrt{33})/4 hoặc x = (-1 – \sqrt{33})/4 

   Vậy S = {2,-1,(-1 + \sqrt{33})/4,(-1 – \sqrt{33})/4} là tập nghiệm của pt

   $#duong612009$

   Trả lời