Hình bình hành ABCD có AD = 2.AB, góc A = 60 độ. Gọi E ,F lần lượt là trung điểm của BC và AD a, C/m AE vuông góc với BF b,C/

1 bình luận về “Hình bình hành ABCD có AD = 2.AB, góc A = 60 độ. Gọi E ,F lần lượt là trung điểm của BC và AD a, C/m AE vuông góc với BF b,C/”

1. a) 

   +) Xét hình bình hành ABCD, ta có:

        E – trung điểm của BC

         F – trung điểm của AD

   ⇒ EF là đường trung bình của ABCD

    ⇒ EF //// AB 

   +) Vì EF là đường trung bình của ABCD nên:

   BE = 1/2 . BC

   AF = 1/2 . AD

   Mà BE = AF (do ABCD là hình bình hành)

   => BE = AF  (1)

   +) Xét tứ giác ABEF, ta có:

    BE //// AF (cmt)

   BE = AF  (cmt)

   ⇒ ABEF là hình bình hành

      ⇒ AB //// EF ⇒ hat{B_1} = hat{F_1}

   Xét Δ ABF và ΔBEF, ta có:

   hat{B_1}= hat{F_1}  (cmt)

   BF – chung

   hat{F_2} = hat{B_2}   ( do AF //// BE )

   ⇒ ΔABF = ΔEFB  (g.c.g)

   ⇒ AB = EF   (2)

   +)   $(GT):$ AD= 2.AB ⇒ AB = 12 . AD = AF   (3)

   Từ (1) ; (2) và (3) suy ra: BE= AF = AB = EF

   +) Xét  tứ giác ABEF, ta có:

   BE= AF = AB = EF (cmt)

   ⇒ ABEF – hình thoi

       ⇒ AE ⊥ BF

         ⇒ đpcm

   b)

   Xét tức giác BFDC, ta có:

   DF //// BC  ( do AD //// BC ; F ∈ AD)

   ⇒ BFDC – hình thang

   – Vì ABCD – hình bình hành nên hat{C} hat{BAF}= 60^0  (4)

   – Vì ABEF- hình thoi nên hat{BAF} = hat{FEB} = 60^0   

   Và AE – tia phân giác của hat{FEB} 

   ⇒ hat{E_1} = 1/2 . hat{FED}= 1/2 . 60^0 = 30^0

   +) Xét ΔBEI vuông tại I, ta có:

   hat{E_1}+ hat{B_2}= 90^0

   ⇔ 30^0 + hat{B_2} = 90^0

   ⇒ hat{B_2} = 60^0  (5)

   – Từ (4) và (5) suy ra: hat{C}= hat{B_2}

   +) Xét hình thang BFDC, ta có:

   hat{C}= hat{B_2}

   ⇒ BFDC – hình thang

   c)

   – Vì ABEF – hình thoi nên hat{AFE} = hat{ABE} = 2. hat{B_2}= 2 . 60^0 = 120^0

   – Ta có: hat{AFE}+ hat{FED}= 180^0

   ⇒ hat{FED}= 180^0 – hat{AFE}= 180^0 – 120^0 = 60^0

   – Xét Δ DFE, ta có:

   FD = EF (= AF = AB)

   ⇒ ΔDFE cân tại F

   Mà hat{DFE}= 60^0

   ⇒ Δ DEF đều

   ⇒ hat{E_3} = 60^0

   – CM tương tự , ta được: hat{E_4} = 60^0

   – Ta có: 

   hat{DEM}= hat{E_3} + hat{FEB} + hat{E_4}

   = 60^0 + 60^0 + 60^0

   = 180^0

   ⇒ D; E ; M thẳng hàng  (đpcm)

   

   Trả lời